Projektív geometria előadás, Hajnal Péter XII. 2. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Az analitikus tárgyalás befejezése: a felmerült problémák megbeszélése. A korábbiak alapján a { [v⃗] : v^{T} Av⃗ } halmaz közönséges pontjai egy kúpszelet affin pontjai. Az ideális elemek, azonban jól jönnek-e ki? Igen, az alábbi definíció ekvivalens a korábbiakkal (nem bizonyítjuk, csak elfogadjuk).

Definíció: Egy kúpszelet egy A nem elfajuló, szimmetrikus mátrix esetén a { [v⃗] : v^{T} Av⃗ } ponthalmaz, amennyiben ez nem üres.

• Új definíció: polaritás fixpontjai. Legyen K_{π} a π polaritás fixpontjainka halmaza.

Definíció: Kúpszelet egy π polaritás K_{π} fixpontjainak halmaza, amennyiben ez a halmaz nem üres.

Az analitikus kúpszleet definíció és a polaritások analitikus alakját ismerve az új definíció azonos a korábbiakkal. Ez is egy tisztán geometriai definíció.

Kúpszeletek geometriája

Lemma: Egy kúpszeletnek és egy e egyenesnek vagy 0, vagy 1, vagy 2 közös pontja van.

Bizonyítás: I. A körre tudjuk, a vetítés megtartja a kívánt tulajdonságokat.

II. Analitikus tárgyalás alapján számolással ellenőrizhető. Ezt nem végezzük el.

III. A polaritás indukál egy involúciót a nem érintőkön. Ezek vizsgálatával adódik az állítás.

Definíció: Érintő, metsző, elkerülő egyenes.

Megjegyzés: Általában az érintő nem deiniálható így. Még az affin síkon vett kúpszleetek esetén is van olyan egyenes, amely csak egy közös pontja van a görbével és nem érintő (a tengellyel párhuzamos egyenesek). ”A hiányzó ideális pont kiskaput ad a fenti definíció helyetelenségére.” Tehát tudatosítsuk, hogy az érintő ilyen formán történő definíciója igen speciális, a projektív síkon, kúpszleetekre működő definíció.

Tétel: Legyen A, B, C, D a K kúpszelet négy különböző pontja. P, Q ∈ K. Ekkor (AP, BP, CP, DP) = (AQ, BQ, CQ, DQ).

Megjegyzés: P vagy Q egybeeshet valamelyik pontunkkal, amikor is összekötő egyenesük a megfelelő pontban húzott érintő.

Bizonyítás: I. A körre a kerületi szo;gek tételéből igaz. Vetítés által pedig öröklődik az állítás. II. Analitikusan kiszámolható. Nem végezzük el. III. Az állítás ekvivalens azzal, hogy a P -re illeszkedő és Q-ra illeszkedő sugársorok közti XP egyenes ↦

XQ egyenes leképézés projektív. A kúpszeletet definiáló polaritás segítségével, ez tisztán geometriai úton belátható. Erre valószínűleg nem lesz idő.

Definíció: (A, B, C, D)_{K} kúpszletei kettősviszony.