Projektív geometria előadás, Hajnal Péter XI. 25. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Példa: Egy körre vonatkozó polaritás a projektív síkon.

Az affin síkon elmondott definíció megismétlése és az ideális pontok, illetve a kör középpontjának vizsgálata. A leképezés polaritás voltának ellenőrzése vázlatosan (utalás az ellenőrizendőkre és néhány esetben az érvelés elmondása).

Példa: Egy kör vetített képére vonatkozó polaritás a projektív síkon. Egy kör vetített képének tárgyalása: ellipszis, parabola egy ideális ponttal kiegészítve, illetve hiperbola két idéalis ponttal kiegészit’ve. Ellipszis esetén a polaritás definíciója és annak tárgyalása, hogy a vetítés tulajdonságai miatt az ellenőrizendő dolgok adódnak a körre vonatkozó ismereteinkből.

Kúpszeletek az affin síkon

• A szokásos mértani helyes definíció.

• A kúpszeletek definíciója mint a (teljes) kúp csúcsán át nem menő síkokkal való metszete. Az eredeti kúpszelet definícióval való kapcsolat, Dandelin-gömbök. (A diákok elhanyagolható része emelte fel a kezét amikor megkérdeztem, hogy ki hallott már Dandelin-gömbökről.)

A kúp metszésének egy másik megfogalmazása: a kör vetítése. Az affin sík esetén esetek, hogy a vetítésnél a körnek 0, vagy 1, vagy 2 pontja marad ki a vetítés rosszul definiáltsága miatt.

• Koordinátageometriai tárgyalás. A szép koordian’ta-rendszerben felírt megszokott alakok (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,

\frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, y^{2} = 2px.) A fenti egyenletek felírása (x, y, 1)A(x, y, 1)^{T} = 0 alakba. Más koordináta-rendszerekben ezektől eltérő egyenlethez jutunk: például xy = 1. Általános koordináta rendszerekben felírt egyenlet tárgyalása: Koordian’ta-rendszerek transzfor-

mációi. Alapesetek: eltolás, elforgatás, a tengelyek felcserélese. Két koordináta-rendszer közötti váltás hatása a koordian’t’akra, egy ponthalmaz egyeneletére. Az eltolás esetének részletes kidolgozása. A kúpszeletek egyeneltére gyakorolt hatás: az A mátrix megváltozása, a nem elfajuló volt és szimmetria megőrzésével. A többi esetet nem dolgozzuk ki, de kimondjuk a tételt. Tétel: Egy K kúpszelet egyenlete egy derékszögű koordináta rendszerben (x, y, 1)A(x, y, 1)^{T} = 0 alakú, ahol A 3 × 3-as, nem elfajuló, szimmetrikus, valós mátrix.

A tétel megfordítható: Tétel: A (x, y, 1)A(x, y, 1)^{T} = 0 egyenlet (ahol A 3 × 3-as, nem elfajuló, szimmetrikus, valós mátrix) megoldáshalmaza, amennyiben nem üres, egy kúpszelet pontjhalmazával azonos. Megjegyzés: A megoldáshalmaz nem üres voltának feltétele szükséges: x^{2} + y^{2} + 1 = 0 a kívánt alakú, de nincs megoldása.

Általánosabb egyenlettel is dolgozhatunk: (x, y, 1)A(x, y, 1)^{T} = 0, ahol A 3×3-as, szimmetrikus, valós mátrix, de nem feltétlenül nem el;fajuló, viszont a_{11}^{2}+a_{12}^{2}+a_{22}^{2} esetén a megoldáshalmazt másodrendű görbének nevezzük. A kúpszeletek speciális másodrendű görbék. A másodrendű görbék egyeneletének nem mátrixos alakja: a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{3}3 = 0, ahol a definiáló polinom foka 2. A kúpszeletek fogalma is általánosítható azzal, hogy megengedünk a kúp csúcsán is áthaladó metszősíkot. Ezzel elfajuló kúpszeletekhez jutunk. A másodrendű görbéket és elfajult kúpszeleteket nem vizsgáljuk.

Kúpszeletek a projektív síkon

• Egy egyeneskúp metszete (a projektív térben, az alkotók ideális pontjait is a kúphoz számítva). Másképpen a körből egy ”egyenes” vetítéssel nyert ponthalmaz. Bármely két kúpszelet vetítéssel egymásba vihető.

Igaz-e, hogy egy kúpszelet vetített képe kúpszelet? Igaz-e, hogy egy nem egyenes kúp szeletei is kúpszeletek? Ezekre a kérdésekre még nem tudjuk a választ.

• A szokásos mértani helyes definíció, ideális pontokkal kiegészítve. Parabolához egy ideális pont hozzáadása, a szimmetriatengelyéhez tartozóé. A hiperbolához két idélis pont hozzáadása, az aszimptotáiéi.

• Analitikus tárgyalás. Csak belekezdünk. Az affin egyenlet { [v⃗] : v^{T} Av⃗ } alakba írása (A szimmetrikus, nem elfajuló). Itt szakadt meg az óra.