Projektív geometria előadás, Hajnal Péter XI. 11. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

A múlt órán elkezdett bizonyítás befejezése:

• A múlt óra végén ki mondott két lemma bizonyítása.

• (iv)⇒(i) Egyszerű számolás homogén koordinátákkal.

Definíció: A fenti tételben leírt bármely (összes) tulajdonsággal rendelkező leképezést projektív leképézésnek, vagy kollineációnak nevezzük.

Következmény: (Projektív síkgeometria alaptétele) Adott egy Σ és egy Γ sík, továbbá Σ-n A, B, C, D általános helyzetű pontok, és Γ-n A′, B′, C′, D′ általános helyzetű pontok. Ekkor pontosan egy olyan α : Σ → Γ projektív leképezés van, amelyre A ↦ A′, B ↦ B′, C ↦ C′ és D ↦ D′.

Lemma: Legyen κ_{A} : [x] ↦ [Ax], ahol A egy nem elfajuló, 3 × 3 méretű valós mátrix. κ_{A} = κ_{B} akkor és csak akkor teljesül, ha alkalmas λ ≠ 0 valós számra A = λ · B.

Síkkollenációk

Definíció: α : Σ → Σ projektív leképezést síkkollineációnak nevezünk.

Tétel: Minden síkkollineációnak van fixpontja.

Bizonyítás: Analitikus bizonyítás, azaz lineáris algebra.

Korrelációk

Definíció: Legyen α : Σ → {Σ egyenesei} bijekció, amely ”illeszkedéstartó”, azaz három egy egyenesre illeszkedő pont képe, három egy ponton átmenő egyenes. Ekkor α korreláció.

Tétel: Legyen α : Σ → {Γ egyenesei} bijekció. Ekkor a következők ekvivalensek:

(i) α korreláció, (ii) α kettőviszonytartó, (iii) van olyan A nem elfajuló, 3 × 3 méretű valós mátrix, hogy α azonos legyen az [x] ↦ [Ax]^{∗} leképezéssel.

Bizonyítás: Legyen α_{0} : {Γ egyenesei} → Γ, [x]^{∗} ↦ [x]. α_{0} nyilvánvalóan illeszkedéstartó (egy pontra illeszkedo egyenesek kepei egy egyenesre illeszkedo pontok) és kettősvisznytartó. Ekkor α akkor és csak akkor korreláció, ha α_{0} ∘ α síkkollineáció. A kollineációkra vonatkozó tétel alapján az állítás nyilván teljesül.