Projektív geometria előadás, Hajnal Péter XI. 4. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Példa: Legyen e és f két metsző egyenes, metszéspontjuk legyen M. Legyen O_{1} és O_{2} két pont az e és f egyenesen kívül, amelyek összekötő egyenese áthalad M-en. Legyen γ : e → e a π_{O_{2},f,e} ∘ π_{O_{1},e,f} leképezés. Ez nyilván projektív leképezés és egyetlen fixpontja van: M.

Involúciók

Definíció: Involúció.

Példa: A múlt óra végen definiált két leképezés.

Lemma: Egy nem identitás projektív involuciónak vagy 0 vagy 2 fixpontja van.

Megjegyzés: A két példánk mutatja, hogy 0, illetve 2 fixpont lehetséges is.

Definíció: Egy involúció elliptikus, ha fixpontjaink száma 0. Egy involúció hiperbolikus, ha fixpontjaink száma 2.

Síkok közötti projektív leképézések

Megjegyzés: A továbbiakban minden sík egy közös projektív tér egy-egy síkja.

Lemma: Adott egy Σ és egy Γ sík, továbbá Σ-n A, B, C, D általános helyzetű pontok, és Γ-n A′, B′, C′, D′ általános helyzetű pontok. Ekkor legfeljebb egy olyan α : Σ → Γ kettősviszonytartó leképézés van, amelyre A ↦ A′, B ↦ B′, C ↦ C′ és D ↦ D′.

Lemma: Adott egy Σ és egy Γ sík, továbbá Σ-n A, B, C, D általános helyzetű pontok, és Γ-n A′, B′, C′, D′ általános helyzetű pontok. Ekkor van olyan α : Σ → Γ leképézés, amely vetítések szorzata, továbbá A ↦ A′, B ↦ B′, C ↦ C′ és D ↦ D′.

Tétel: Legyen α : Σ → Γ bijektív leképézés. Ekkor a következők ekvivalensek:

(i) α kettősviszonytartó, (ii) α vetítések szorzata, (iii) α egyenestartó, (iv) van olyan A nem elfajuló, 3 × 3 méretű valós mátrix, hogy α azonos legyen az [x] ↦ [Ax] leképezéssel.

Megjegyzés: A (iv) pont alatt definiált [x] ↦ [Ax] leképezésről (A nem elfajuló, 3×3 méretű valós mátrix) ellenőrizni kell, hogy jól definiált.

Bizonyítás:

(i)⇒(ii): Bizonyítása az első két lemmán alapul, ugyanúgy, mint a síkon.

(ii)⇒(iii): Triviális.

(iii)⇒(iv):

1. eset: Σ ideális egyenesének képe Γ ideális egyenese. Legyen αaff az α leképezés megszorítása Σ közönséges pontjaira. Ez egy affin leképezés lesz. Ennek analitikus alakját (affin koordinátákkal számolva) ismerjük. Homogén koordinátákat használva a tételben megígért alak jön ki. Könnyen ellenőrizhető, hogy az ideális pontok esetén is alkalmazható ez a képlet.

2. eset: Σ ideális egyenesének képe Γ egy közönséges egyenese, e. Legyen β : Γ → Γ, amelynél az e egyenes képe Γ ideális egyenese és [x] ↦ [Bx] alakú valamely B nem elfajuló 3 × 3 méretű valós mátrixra. Ez a következő lemma alapján megtehető:

Lemma: Található olyan A, hogy π_{A} : [x] ↦ [Ax] leképézésnél P, Q, R, S általános helyzetű pontok képe előre megadott P′, Q′, R′, S′ általános helyzetű pontok legyenek.

Ekkor γ : Σ → Γ, γ = β ∘ α egy egyenestartó leképezés, amely Σ ideális egyenesét (e-n keresztül) Γ ideális egyenesébe viszi. Ez a következő lemmából adódik:

Lemma: β : [x] ↦ [Bx] egy egyenestartó leképezés.

Ekkor az 1. eset alkalmazható és kapjuk, hogy γ : [x] ↦ [Cx] alalkú. Ebből adódik, hogy α is a megígért alalkú. A fenti bizonyítás struktúrája és logikája el volt mondva. A két lemma és a tétel bizonyításának

befejezésével kezdjük a következő előadást.