Projektív geometria előadás, Hajnal Péter X. 28. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Papposz—Pascal tétel

Definíció: Legyen α : e → f egy projektív leképézés a projektív sík két metsző egyenese között. Ekkor legyen T_{α}(A, B) az Aα(B) és Bα(A) egyenesek metszéspontja.

Tétel: Legyen α : e → f egy projektív leképézés a projektív sík két metsző egyenese között. Ekkor a T_{α}(A, B) pontok egy egyenesre illeszkednek.

Bizonyítás: A két metsző egyenes metszéspontja legyen O.

1. eset: α(O) = O. Ekkor a teljes négyszög tétele alkalmazható.

2. eset: α(O) ≠ O. Ekkor belátható, hogy az α(O)α^{−1}(O) egyenesre esik az összes T_{α}(A, B) alakú pont.

⋆

Definíció: Hatszög: körszerűen rendezett ponthatos hat általános helyzetű pontból. Csúcsok, oldalegyenesek, szemköztes oldalegyenesek.

Definíció: Pascal-hatszög: hatszög, amely szemközti oldalainak metszéspontjai (3 pont) egy egyenesre esnek.

Tétel:

(a) Desargues-tétel ⇔ Pascal-hatszög másodszomszédos csúcsait felcseréve Pascal-hatszöget kapunk.

(b) Papposz—Pascal-tétel ⇔ Pascal-hatszög szomszédos csúcsait felcseréve Pascal-hatszöget kapunk.

Következmény: Egy Pascal-hatszög csúcsai

Következmény: Papposz-Pascal-tételből levezethető a Desargues-tétel.

Megjegyzés: A következmeny semmit mondónak tünhet, hiszen két igaz állítás közötti implikációt állít. Azonban az implikáció bizonyítása a projektív sík illeszkedési axiómáit használja. Sem Desargues-tétel, sem Papposz—Pascal-tétel nem bizonyítható a sík illeszkedési axiómáiból.

Egy egyenes önmagára történő projektív leképezései

Lemma: e → e egy projektív leképezésnek vagy 0, vagy 1, vagy 2 fixpontja van, vagy identitás.

Példa: Legyen A, B ∈ e. Legyen α : e → e a következő leképezés: A ↦ A, B ↦ B és C ≠ A, B esetén C ↦ C′, ahol { A, B } pontpárt harmonikusan választja el { C, C′ }. Korábbi példa volt, így tudjuk, hogy projektív leképezés. Könnyű látni, hogy pontosan két fixpont van: A és B.

Példa: Legyen e az ideális egyenes és A ∈ e egy l egyenes állásával azonosított idéalis pont. Legyen β(A) az l egyenes 90^{∘}-kal elforgatott l′ képe állásának megfelelő ideális pont. β : e → e leképezés. Könnyű látni, hogy nincs fixpontja. β projektív: Ehhez vegyünk fel egy A, B, C, D pontnégyest e, és kössük össze azokat egy közönséges ponttal. (ABCD) a négy összekötő egyenes kettősviszonyával azonos. (β(A)β(B)β(C)β(D)) hasonlóan felírható a Papposz—Steiner-tétel alkalmazásáként. A két egyenesnégyes egymás 90^{∘}-os elforgatottja, így kettősviszonyuk azonos, azaz β projektív.

Gondolkodni való a következő előadásig: projektív leképezés pontosan egy fixponttal.