Projektív geometria előadás, Hajnal Péter X. 14. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Definíció: Teljes négyszög: Négy pont a síkon, amelyek közül semleyik három nincs egy egyenesen. Ezek meghatároznak hat összekötő egyenest (oldalak). Ezek három párat alkotnak (szemköztes oldalak), amelyek három metszésponthoz vezetnek.

Dualizálás: Teljes négyoldal.

Tétel: Teljes négyszög tétele: Egy teljes négyszög egyik szemköztes oldalpárjának metszéspontjából a másik két metszésponthoz vezető egyenest harmonikusan választja a négyszög csúcsaihoz vezető két egyenes.

Bizonyítás: Papposz—Steiner tétel alkalmazása.

EGYENESEK KÖZÖTTI PROJEKTÍV LEKÉPEZÉSEK

Alapok

Lemma: Legyen e és f egy projektív sík két egyenese. Legyen A, B, C három különböző pont e-n és legyen A′, B′, C′ három különböző pont f-en. Ekkor maximum egy ψ : e → f kettősviszony tartó leképezés van, amelyre ψ(A) = A′, ψ(B) = B′ és ψ(C) = C′.

Lemma: Legyen e és f egy projektív sík két egyenese. Legyen A, B, C három különböző pont e-n és legyen A′, B′, C′ három különböző pont f-en. Ekkor van egy ψ : e → f leképezés, amely vetítések szorzata, továbbá ψ(A) = A′, ψ(B) = B′ és ψ(C) = C′.

Következmény: Legyen e és f egy projektív sík két egyenese. ϕ : e → f bijekció. Ekkor a következők ekvivalensek:

(i) ϕ kettősviszony tartó, (ii) ϕ vetítések szorzata.

Definíció: Projektív egyenesek közötti leképezés projektív, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti.

Példa: Legyen e egy projektív egyenes és A, B két pontja. Vegyük a következő leképezést: A ↦ A, B ↦ B és C ≠ A, B esetén C ↦ C′, ahol { A, B }-t { C, C′ } harmonikusan választja el. Ez projektív lesz. Bizonyítás: előáll két vetítés szorzataként.

Tétel: (Egyenesek projektív geometriájának alaptétele) Legyen e és f egy projektív sík két egyenese. Legyen A, B, C három különböző pont e-n és legyen A′, B′, C′ három különböző pont f-en. Ekkor pontosan egy ψ : e → f projektív leképezés létezik, amelyre ψ(A) = A′, ψ(B) = B′ és ψ(C) = C′.