Projektív geometria előadás, Hajnal Péter X. 7. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Papposz tétele az affin síkon: Négy, egy egyenesre eső pont kettősviszonya kifejezhető egy egyenesen kívüli pontból a pontokhoz húzott egyenesek közötti szögek szinuszaival.

Definíció: Négy egy ponton áthaladó egyenes kettősviszonya.

Következmény: Egy O ponton áthaladó egyenes négyest messünk el egy e és egy f egyenessel úgy, hogy mindkét egyenesen négy különböző metszéspont keletkezzen. Ekkor az e kialakuló metszéspontok kettősviszonya azonos az f egyenesen kialakuló metszéspontok kettősviszonyával.

Megjegyzés: Ha az affin síkon a vetítés bijekció lenne az egyenesek között, akkor már tudnánk, hogy a kettősviszony invariáns. Így egy ”nem túl szép” tételünk van: Vetítsünk egy e egyenest egy f egyenesre, továbbá vegyünk fel e-n négy különböző pontot, amelyeken értelmezett a vetítés. Ekkor a felvett pontok kettősviszonya megegyezik a képpontjaik kettősviszonyával.

Kettősviszony a projektív síkon

Definíció: Kettősviszony homogén koordinátákkal.

Kettősviszonyok tulajdonságai.

(a) (A, B, C, D) ∈ − { 0, 1 },

(b) Legyen A, B és C az e egyenes tetszőleges három különböző pontja. Ekkor tetszőleges λ ∈ − { 0, 1 } számhoz pontosan egy olyan D pont van az e egyenesen, amelyre (A, B, C, D) = λ,

(c) (A, B, C, D) = (C, D, A, B),

(d) (A, B, D, C) = (B, A, C, D) = \frac{1}{(A,B,C,D)},

(e) (A, B, C, D)(A, B, D, E) = (A, B, C, E),

(f) (A, B, C_{1}, C_{2})(A, B, C_{2}, C_{3}) … (A, B, C_{i}, C_{i+1}) … (A, B, C_{n−1}, C_{n}) = (A, B, C_{1}, C_{n}),

(g) (A, B, C, D)(B, C, A, D)(C, A, B, D) = −1,

(h) (A, B, C, D) + (A, C, B, D) = 1.

Tétel: (A, B, C, D) = (OA, OB, OC, OD).

Következmény: Papposz—Steiner tétel: a kettősviszony invariáns a vetítésekkel szemben.

Elválasztás, harmonikus elválasztás

Definíció: Az { A, B } pontpárat elválasztja a { C, D } pontpár, ha (A, B, C, D) < 0.

Kettősviszonnyal definiált, tehát projektív invariáns.

⋆

Definíció: Harmonikus elválasztás.