Projektív geometria előadás, Hajnal Péter IX. 23. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Összefogalaló az elmúlt óráról: A projektív sík és tér bevezetése már megismert struktúra módosításával egy új ”szótár” kidolgozásával történt. Ugyanezt más módon is elvégezhetjük.

A projektív sík és egyenes pontjai mint az origón átmenő egyenesek

A projektív sík pontjai az affin tér origón átmenő egyenesei, az egyenesek az origón átmenő síkok.

Megjegyzés: Ez a bevezetési mód mutatja, hogy a ”projektív geometriában élve, oda születve” minden pont és egyenes egyforma. Az ideális pontok kitüntetése csak azért történt meg mert egy affin síkból indult ki felépítésünk. A projektív sík bármely egyenesét elhagyva a maradék egyenesek és pontok egy affin síkot adnak.

A fenti úttól (már ismert geometriai struktúrákból történő felépítés, konstrukció) különböző megközelítések is lehetségesek.

Axiómatikus tárgyalás

Csak mesélek róla: Alapfogalmak és axiómák bevezetése, majd logikai következtetési szabályok alkalmazása. Az illeszkedési axiómák a fenti tulajdonságok (illetve ezek egy részhalmaza). Fáradságos út, nem követjük.

Koordináta geometria, Homogén koordináták

Homogén koordináták bevezetése.

Jelölésben:

P = [p_{1}, p_{2}, p_{3}] = (p_{1} : p_{2} : p_{3}) = [\underline{p}] e = [e_{1}, e_{2}, e_{3}]^{∗} = (e_{1} : e_{2} : e_{3})^{∗} = [\underline{e}]^{∗}.

A homgén koordinátákkal való számolás alapjai:

(a) [\underline{p}] és [\underline{q}] két különböző pont, ha \underline{p} és \underline{q} lineárisan független vektorok.

(b) [\underline{e}]^{∗} és [\underline{f}]^{∗} két különböző egyenes, ha \underline{e} és \underline{f} lineárisan független vektorok.

(c) [\underline{p}] pont és [\underline{e}]^{∗} egyenes akkor és csak akkor illeszkedik, ha \underline{e} ⊥ \underline{p}, azaz \underline{p}\underline{e} = 0.

(d) A [\underline{p}] és [\underline{q}] pontok által meghatározott egyenes [p × q]^{∗}.

(e) A [\underline{e}]^{∗} és [\underline{f}]^{∗} egyenesek metszése az [\underline{e} × \underline{f}] pont.

(f) A [\underline{p}], [\underline{q}] és [\underline{r}] pontok egy egyenesre esnek, ha a \underline{p}, \underline{q} és \underline{r} vektorok lineárisan függőek.

(g) A [\underline{e}]^{∗}, [\underline{f}]^{∗} és [\underline{g}]^{∗} egyenesek egy ponton haladnak át, ha az \underline{e}, \underline{f} és \underline{g} vektorok lineárisan függőek.

⋆  ⋆  ⋆

Összefoglalásként megemlítem a lehetséges tárgyalásokat: axiómatikus módszer, koordináta módszer.

Dualitás

Desargues tétele

Tétel: Ha ABC△ és A′B′C′△ pontra nézve perspektív, akkor egyenesre nézve is perspektív. A bizonyításba nem kezdtem bele időhiány miatt. De a maradék időt kihasználtam a következőkre: A fordított irány is igaz, dualizálás. A következő szerkesztési feladat megoldható Desargue-tételével: Egy papírlapon adott egy e és egy f

egyenes, illetve egy P pont. Legyen M az e és f egyenes metszéspontja, amiről feltesszük, hogy nem esik a papírlapra. Szerkesszük meg a P pontot és az M pontot összekötő egyenest. Természetesen szerkesztési eljárásuknak a paírlapon kell történnie.

Megadtam a szereksztési eljárást, és említettem, hogy a szerkesztés helyességének bizonyítása Desarguestételével történhet. Akit érdekel próbálja jövő hétig belátni.