Projektív geometria előadás, Hajnal Péter IX. 16. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Bevezetés

Motiváció: Festészet, perspektívikus ábrázolás, vetítések vizsgálata. Projektív geometriai vizsgálatok kezdete: Papposz (i.sz. III.sz.), Brunelleschi (1425) építész, Kepler (1571—1630) csillagász, Desargues (1591— 1661) építész. A ”modern” projektív geometria kezdete: J.V. Poncelet (1788—1867), K.G.C. von Staudt (1789—1867), J.D. Gergonne (1771—1859), Arthur Cayley (1821—1895), Felix Klein (1849—1925).

Definíció: Legyen Σ és Γ két sík a térben és O egy rajtuk kívül fekvő pont. π_{O,Σ,Γ} a Σ sík vetítése Γ-ra az O pontból. Szóhasználat: OP egyenes vetítő egyenes, π_{O,Σ,Γ}(P) P vetített képe.

Diszkusszió ha Σ és Γ metsző síkok: Miért szükségesek a feltételek? Például miért ne legyen O rajta egyik síkon sem, miért az az érdekes, ha a két szík metsző stb. π_{O,Σ,Γ} nem egy Σ → Γ leképezés: Egy egyenesen nem értelmezett a leképezés, egy egyenes kimarad a képhalmazból. Különben a leképezés bijektív.

Megjegyzés: Több vetítés szorzatának értelmezési tartománya áttekinthetetlen. Hasonló a helyzet mint az inverzióknál.

Példa: z = 1 egyenletű sík xy = 1 hiperboláját az origóból vetítsük a

(a) z = 2,

(b) x = 2,

(c) x + y = 2 síkra.

Meggondolandó: A ki nem dolgozott esetek.

Megjegyzés: Az eredmény nem meglepő a kúpszeletek ”kúp szeleteiként” való értelmezése úgyis felfogható, mint egy kör vetített képe. Megvizsgálva kapjuk, hogy parabolánál a vatített kört érinti a Σ ∩ Γ^{∗} egyenes, azaz a parabola egy ”egy ponttal kilyukasztott körvonal” képe.

Ideális elemekkel bővített affin síkgeometria

Ideális térelemek a síkon és illeszkedésük.

Jelölés: A párhuzamosság egy ekvivalenciareláció az affin síkon. Ez definiál ekvivalenciaosztályokat, egyenesek ”állása”. Az e egyenes ekvivalenciaosztálya [e]. Az e egyenes állásához rendelt ideális pont I_{[e]}.

Szóhasználat: A fenti sík az affin sík projektív kiterjesztése.

Vetítés a tér két síkjának projektív kiterjesztettje között

Megjegyzés: A körvonal vetített képe lehet egy ellipszis, egy parabola egy ideális ponttal kibővítve, egy hiperbola két ideális ponttal kibővítve.

Meggondolandó: Mik lesznek (mely párhuzamos egyenessereg ideális pontjai lesznek) a képhalmazban fellépő ideális pontok?

Projektív sík illeszkedési tulajdonságai

(o) Létezik négy pont, hogy közülük semelyik három sem illeszkedik egy egyenesre. (o′) Létezik négy egyenes, hogy közülük semelyik három sem halad át egy ponton.

(i) Tetszőleges két különböző pontra pontosan egy egyenes illeszkedik. (i′) Tetszőleges két különböző egyenes esetén pontosan egy olyan pont van, amely mindkettőre illeszkedik.

Ideális elemekkel bővített affin térgeometria

I_{[e]} és I_{[Σ]} az ideális pontok és egyenesek jelölése.

Projektív tér illeszkedési tulajdonságai

(o) Létezik öt pont, hogy közülük semelyik négy sem esik egy síkra. (o′) Létezik öt sík, hogy közülük semelyik négy sem tartalmaz közös pontot.

(i) Két különböző ponton pontosan egy egyenes halad át. (i′) Két különböző sík pontosan egy közös egyenest tartalmaz. (ii) Három nem egy egyenesre eső ponton pontosan egy sík halad át. (ii′) Három olyan sík, amely nem tartalmaz közös egyenest pontosan egy közös pontot tartalmaz. (iii) Egy ponton és egy nem rá illeszkedő egyenesen pontosan egy sík halad át. (iii′) Egy síkot egy nem ebben a síkban haladó egyenes pontosan egy pontban metsz. (iv) Két metsző egyenesen pontosan egy sík halad át. (iv′) Két egy síkban lévő egyenesnek pontosan egy közös pontja van.