Definíció: Legyen (A,<) egy rendezett halmaz. Az A alaphalmaz egy C részhalmaza kofinális a kiinduló rendezett halmazban, ha A tetszõleges a eleméhez van C-nek olyan c eleme, hogy a <= c.

Példa: (Z,<) kofinális a 2 hatványok halmazával. (R,<) kofinális az egész számok halmazával.

Lemma: Legyen (A, <) egy rendezett halmaz és benne B kofinális halmaz. Legyen C kofinális részhalmaza B-nek (< megszorításában). Ekkor C kofinális (A,<)-ban.

Tétel: (Hausdorff-tétel) Minden (A,<) rendezett halmazban van olyan C kofinális halmaz, amely jólrendezett és típusa nem nagyobb, mint |A|. Bizonyítás: Rendezzük jól az A halmazt úgy, hogy a kapott jólrendezés típusa |A| legyen: (A,<'). Legyen C azon c elemek halmaza, amelyeknél az eredeti sorrendben nagyobb elemek az új (<') sorrendben is nagyobbak. (Akiket a sorrend át-jólrendezésénél nem elõzött meg senki.) Belátjuk, hogy az így kapot C halmaz megfelelõ.

C kofinális: Legyen a a A halmaz tetszõleges eleme. Legyen a+ azon elemek halmaza, amelyek az eredeti sorrendben nem elõzték meg a-t (azaz a után következtek vagy a-val egyenlõek). Ezek egy nem üres halmazt alkotnak (A,<')-ben, azaz a jólrendezettség miatt lesz legkisebb elem: m. Egyrészt m >= a, másrészt m C-beli.

C jólrendezett: Ez az <' rendezes' megszorítására nyilvánvaló, de < megszorítása C-re ezzel egybeesik.

C típusa nem nagyobb mint |A|. Ez nyilvánvaló, hiszen egy nagyobb rendszámból nincs monoton leképezés egy kisebb rendszámba. Következmény: cf(cf(a))=cf(a) és cf(a) egy számosság, 0, 1 vagy végtelen.

Definíció: Egy rendezett halmaz ((A,<)) kofinalitása (cf(A,<)) az a legkisebb a rendszám, amelyre van olyan kofinális halmaz (A,<)-ben, amely típusa a.

Megjegyzés: Hausdorff-tétel miatt a fenti definíció értelmes és cf(A,<)<=|A|.

Lemma: Legyen (A,<) és (Á,<') két izomorf rendezett halmaz. Ekkor cf(A,<)=cf(Á,<').

Definíció: Legyen a egy rendtípus. a kofinalitását úgy kapjuk meg, hogy vesszük a típus egy reprezentánsát és ennek kofinalitása lesz cf(a).

Megjegyzés: A fenti lemma alapján ez a definíció korrekt.

Lemma:

(i) cf(0)=0.

(ii) Legyen a egy rákövetkezõ rendszám. Ekkor cf(a)=1.

(iii) Legyen a egy limesz rendszám. Ekkor cf(a)>1.

Definíció: Egy a limesz rendszámot regulárisnak nevezünk, ha cf(a)=a. Egy a limesz rendszámot szingulárisnak nevezünk, ha cf(a) < a.

Megjegyzés: Reguláris rendszámok végtelen számosságok. Megfordítva persze nem igaz. A végtelen számosságok sorában omegával indexelt számosságban a véges indexû alefok omega típusú kofinális halmazt alkotnak. Azaz szinguláris számossággal van dolgunk. Rákövetkezõ számosságok azonban ``automatikusan'' regulárisok.

Lemma: Ha k egy rákövetkezõ számosság, akkor k reguláris rendszám. Legyen K egy k-nak jólrendezett része, amely típusa (és így egyben számossága is) kisebb mint k. Belátjuk, hogy ekkor K nem kofinális k-ban. Valóban sup K számosságáról könnyen meggondolható, hogy kisebb mint k azaz (sup K)+1 ellentmond a kofinalitásnak.

Az alábbiakban, ha k végtelen számosság, akkor alternatív értelmezését adjuk cf(k)-nak.

Tétel: Legyen k egy végtelen számosság. Legyen cf'(k) az a minimális l számosság, hogy legyen l számosságú I indexhalmaz és minden I-beli i-re egy-egy k-nál kisebb k(i) számosság, hogy a k(i) számosságok összege k legyen. Ekkor cf'(k)=cf(k).

Bizonyítás: Vegyünk k-ban egy cf(k) típusú kofinális halmazt, K-t. UK=k, így A K-beli elemek számosságainak összege legalább k. Persze legfeljebb is k, azaz pontosan k. Tehát cf'(k)<=cf(k).

Belátjuk, hogy cf(k)<=cf'(k).

Ha cf'(k)=k, akkor ez nyilvánvaló.

Tegyük fel, hogy cf'(k)< k. k cf'(k) ``darab'', nála kisebb számosságok összegeként való felírásában szereplõ tagok (T) k egy részhalmazát adják. Nyilván ennek a részhalmaznak kofinálisnak kell lenni k-ban. Így cf(k)<=cf(T)<=|T|=cf'(k) és készen vagyunk.

Megjegyzés: Ha k limesz számosság, akkor I választható cf(k)-nak és a k(i) számosságok választhatók szigorúan növekvõnek. Ugyanis k-ban a k-nál kisebb végtelen számosságok (V) kofinális halmazt adnak. Így cf(V,<)=cf(k). Így k-ban egy ``optimális'' kofinális halmaz választható számosságokból álló halmaznak. Ez a halmaz ``indexelve '' megfelelõ lesz.