Russel-antinómia: Vegyük azon H halmazok összességét, amelyek nem eleme önmaguknak. Így a ``nem tartalmazkodó halmazok halmazához'' jutunk. Ez a halmaz tartalmazkodó-e? Ha igen, akkor definíciója folytán nem tartalmazkodó halmaz lenne. Ha nem tartalmazkodó halmaz, akkor definíció szerint önmaga eleme lenne.

A probléma, hogy a fenti gondolatokban egy bizonyos tulajdonság alapján kijelölt halmazok összességét halmaznak vettük. Halmazok valamely ``összessége '' nem feltétlenül halmaz. Az a szemlélet, hogy halmazok tetszõleges összessége halmaz ugyanannyira rossz, mint az az ókori szemlélet, hogy végtelen sok pozitív szám összege nem lehet véges. Az analízisben jártas emberek a fenti nézetet megmosolyogják, de az analízis fogalmainak tisztázása nélkül Zénon, ókori filózófus egy komoly filozófiai problémával találta magát szemben, amelyet nem tudott kielégítõen megválaszolni.

A fenti probléma ``megoldása '' is hasonló lesz. A halmazelmélet szigorú tárgyalását végezzük el, ami alatt kialakul a helyes nézõpont és látni fogjuk, hogy bizonyos összességek nem alkotnak halmazt, bizonyosak halmazt alkotnak. A helyes nézõponttal rendelkezõ a fenti antinómiákon is mosolyogni  tud kivéve, ha felismeri ezek igen fontos jelentõségét és szerepét matematikai gondolkodásunk kialakításában.

Mint fentebb is vázoltuk a halmazelmélet szigorú megalapozására van szükségünk. Ennek elsõ (és így több legfontosabb) lépésett Georg Cantor (1845-1918) tette meg. A halmazelmélet kialakításában további fontos szerepet játszó matematikusok: David Hilbert (1862-1943), Ernst Zermelo (1871-1952), Felix Hausdorff (1869-1942), Nikolai Luzin (1883-1950), Adolf Fraenkel (1891-1965), Kõnig Gyula (1849-1913), Neumann János (1903-1957), KurtGödel (1906-1978), Paul Cohen. (A fenti listával nem törekedtem teljességre.)