Feladatmegoldó speciálkollégium

VII.

1) Egy egyenesen felveszünk 2^{n} +1 pontot. Az általuk meghatározott \binom{2^{n}+1}{2} szakasz mindegyikére, mint átmérőre egy kört rajzolunk. A körök mindegyikét kifestjük adott n szín valamelyikével. Bizonyítsuk be, hogy található két egymást kivülről érintő kör, amelyek ugyanolyan színűek.

2) Legyen p(x) egy n-ed fokú egész együtthatós polinom, amely 2n + 1 különböző egész pontban vesz fel prím értéket. Bizonyítsuk be, hogy p(x) irreducibilis Z[x]-ben.

3) Megadható-e a síkon 30 pont úgy, hogy bármelyik ponthoz pontosan 5 másik legyen egység távolságra?

4) Legyen K egy korlátos, konvex, zárt alakzat a térben. P ∈ K jó pont, hogy ha létezik olyan Σ sík, amelyre Σ∩K = {P } és K a Σ sík egy oldalára esik. Bizonyítsuk be, hogy K akkor és csak akkor poliéder, ha véges sok jó pontja van.

5) Két egyforma magasságú hegyet egy tó választ el. Mindkét hegy esetén a tótól a csúcsig véges sok lejtő, illetve emelkedőből álló út vezet fel. Az útak soha sem süllyednek a tó vízszintje alá. Bizonyítsuk be, hogy ha mindkét hegy lábánál egy-egy ember áll, akkor meg tudják mászni a megfelelő hegyet úgy, hogy a mászás során mindig egyenlő magasságban legyenek a másik emberrel.

6) A síkon adott n egyenes úgy, hogy nincs köztük két párhuzamos. Az egyenesek tartományokra osztják a síkot. Bizonyítsuk be, hogy legalább n − 2 háromszög alakú tartományunk lesz.

Megbeszélés: Március 28. (csütörtök), 4 óra, Riesz terem

Hajnal Péter