Feladatmegoldó speciálkollégium VI.

1) Adott egy önmagát véges sokszor metsző görbe. (Minden metszésponton kétszer halad át a görbe és nem érinti önmagát). A metszéspontokat megbetűzzük. Egy irányban végigmegyünk a görbén és egy kör kerületére sorban felírjuk azoknak a metszéspontoknak a betűjelét, amely felett áthaladunk. Az így kapott sorból vegyünk ki két azonos betűt. Számoljuk meg azokat a betűpárokat, amelyeket a kiválasztott kettő elválaszt. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott szám páros.

2) Egy 20 cm-es vonalzónk és egy olyan körzőnk van, amelyet csak 15 cmes körzőnyílással használhatunk. Adott két pont a síkon, ezek ≈ 10 m távolságra vannak egymástól. Kössük össze a két pontot egy szakasszal.

3) Legyen K egy szabályos konvex n-szög.

Ha adott K-nak egy teszőleges háromszögekre bontása egymást belső pontban nem metsző átlókkal, akkor a következő operációt végezhetjük el: A felbontásban szereplő egyik átlót hagyjuk el. Így az eredeti felbontás két háromszöge egy négyszöggé ”olvad össze”. Ennek vegyük fel az elhagyott átlótól különböző átlóját. Így egy újabb háromszögekrebontást kapunk.

Legyen A és B a K sokszög két fenti típusú felbontása háromszögekre. Bizonyítsuk be, hogy A-ból kiindulva B-t megkaphatjuk a fenti operáció ismételt alkalmazásával.

Mit mondhatunk a szükséges lépések számáról?

4) Egy kör kerületére rendre írjuk fel az 1, 2,…, n számokat. Az 1 számtól induljunk el és radírozzuk le minden második számot. Az eljárást addig folytassuk amíg egyetlen szám marad. Melyik ez a szám?

5) Legyen f_{i} : [0, 1] → R (i = 1, 2) két folytonos függvény. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan x_{i} pontok és α_{i} nemnegatív számok (i = 1, 2), hogy

j = 1, 2-re:

α_{1}f_{j}(x_{1}) + α_{2}f_{j}(x_{2}) = ∫_{0}^{1} f_{j}(t)dt,

és α_{1} + α_{2} = 1. Általánosítsuk a feladat állítását.

6) Egy egység oldalú négyzetben adott n^{2} pont. Bizonyítsuk be, hogy van olyan legfeljebb 3n hosszú töröttvonal, amely áthalad az összes ponton. Rövidebb törötöttvonallal cél tudunk-e érni?

Megbeszélés: Március 21. (csütörtök), 4 óra, Riesz terem

Hajnal Péter