Feladatmegoldó speciálkollégium

IV.

1) Le lehet-e fedni a síkot véges sok parabola lemezzel?

2) Egy köralalkú autóversenypálya mentén benzinkutak vannak. Az egyes benzinkutakban lévő benzin mennyisége együtt éppen arra elég, hogy egy autó körbeutazza a pályát. Bizonyítsuk be, hogy egy autó alkalmas benzinkúttól indulva körbe utazhatja a pályát úgy, hogy csak tankolás céljából áll meg. (Az autó tankjába az összes benzin számára van hely.)

3) Legyenek a_{i,j} számok pozitív egészek (i, j ≥ 1). Ebben a felsorolásban minden pozitív egész szám legfeljebb 8-szor fordul elő. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan i és j indexpár, hogy a_{i,j} > ij teljesül.

4) Legyen S egy n elemet tartalmazó halmaz és M_{1}, M_{2},…, M_{n+1} az S halmaznak nem üres részhalmazai. Bizonyítsuk be, hogy találhatók olyan r, s (r + s ≤ n + 1) számok és i_{1}, i_{2},…, i_{r}, j_{1}, j_{2},…, j_{s} különböző indexek úgy,

hogy M_{i_{1}} ∪ M_{i_{2}} ∪… ∪ M_{i_{r}} = M_{j_{1}} ∪ M_{j_{2}} ∪… ∪ M_{j_{s}}.

5) Legyen H = {1, 2,…, n − 1, n}. Egy U = u_{1}, u_{2},…, u_{l} sorozatot univerzális sorozatnak nevezünk, ha u_{i} ∈ H és a H elemeinek tetszőleges permutációját megkaphatjuk U-ból l − n elemének kihúzásával. Adott n esetén azt a minimális l-t keressük, amelyre létezik l hosszú univerzális sorozat. Jelöljük l(n)-nel ezt a minimális számot. Adjunk becsléseket az l(n) függvényre.

6) Adott a síkon tetszőleges n pont. Mindegyik pontban van egy reflektor, amely \frac{2π}{n} szögben megvilágítja a síkot. A reflektorok a pontok körül elforgathatók. Bizonyítsuk be, hogy a reflektorok beállíthatók úgy, hogy megvilágítsák az egész síkot.

Megbeszélés: Március 7. (csütörtök), 4 óra, Riesz terem

Hajnal Péter