Feladatmegoldó speciálkollégium

III.

1) Egy ABC szabályos háromszög P belső pontjából merőlegeseket bocsátunk az oldalakra. Ezeknek a merőlegeseknek a talppontjai legyenek A_{1}, B_{1}, C_{1}. Bizonyítsuk be, hogy T_{P A_{1}B△} + T_{P B_{1}C△} + T_{P C_{1}A△} =

T_{P A_{1}C△} + T_{P C_{1}B△} + T_{P B_{1}A△}.

2) Egy n emberből álló vállalat n + 1 darab 3 alkalmazottból álló csoportot alkot. Nincs két olyan csoport, amelyet ugyanaz a három ember alkot. Bizonyítsuk be, hogy található két olyan csoport, amelynek pontosan egy közös tagja van.

3) Egy térbeli négyszög négy oldalát és két középvonalát csuklós rudakkal modellezük. Bizonyítsuk be, hogy a kapott rendszer nem lesz merev.

4) Lehetséges-e olyan konvex poliéder, amelynek egyetlen ötszög alakú lapja van és az összes többi lapja háromszög alakú, továbbá minden csúcsában páros sok él fut össze?

5) A koordinátasíkon egy legalább 3 sugarú kört rajzolunk úgy, hogy ez ne haladjon át egész koordinátájú ponton. Egy egész koordinátájú pontot belső határpontnak nevezünk, hogy ha a kör belsejébe esik, de van olyan egész koordinátájú szomszédja, amely a körön kivül fekszik. Legyen b a belső határpontok száma. Hasonlóan definiálhatók a külső határpontok. Legyen ezek halmazának számossága k. Bizonyítsuk be, hogy k − b = 4. (Két egész koordinátájú pontot szomszédosnak nevezünk, hogy ha egyik koordinátájuk megegyezik, amásik pedig 1-gyel különbözik.)

6) Egy (a_{i,j})_{i,j=1}^{n} mátrixot Hadamard mátrixnak nevezünk, ha elemei 1 abszolút értékűek (a_{i,j} ∈ {−1, 1}) és különböző sorainak skaláris szorzata 0 (∑_{j=1}^{n} a_{i_{1},j}a_{i_{2},j} = 0 minden i_{1} ≠ i_{2} esetén). Legyen H = (h_{i,j})_{i,j=1}^{n} egy Hadamard mátrix.

(a) Bizonyítsuk be, hogy 4|n.

(b) Ha R egy tetszőleges a × b részmátrixa H-nak, akkor az R-beli elemek összege legfeljebb \sqrt{abn}.

Megbeszélés: Február 28. (csütörtök) 4 óra, Riesz terem

Hajnal Péter