Feladatmegoldó speciálkollégium

II.

1) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok n kitevőre 2^{n} számjegyeinek összege nagyobb mint 2^{n+1} számjegyeinek összege.

2) Egy országban köralakú autópályák vannak. Két autópálya sohasem érinti egymást és három autópálya sohasem találkozik egyszerre. Bizonyítsuk be, hogy a kereszteződésekben kialakíthatók a felüljárók úgy, hogy bármely autópályán végigutazva, a kereszteződésekben felváltva utazunk fent illetve lent.

3) Adott n pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy a pontok lefedhetők körlapokkal úgy, hogy a körlapok sugarainak összege legfeljebb n egység és bármely két kör távolsága legalább egységnyi.

4) Egy egyenesen n darab egyenlő tömegű pont elkezd egyenletes sebességgel mozogni. Legfeljebb hány ütközés lehetséges közöttük? Mi a helyzet, ha csak három pontunk van, de ezek m_{1}, m_{2} és m_{3} tömegűek? (Az ütközéseket tökéletes ütközéseknek tekintjük.)

5) Adott a térben néhány, páronként kitérő egyenes. Az egyeneseket levetítjük egy síkra úgy, hogy a keletkező vetületek közül ne menjen egyik három sem ugyanazon a ponton keresztül. Minden kialakuló metszéspontnál válasszuk ki azt az egyenest, amely a metszéspont felett alacsonyabban halad át mint a másik. Ennek az egyenesnek a vetületét szakítsuk meg a megfelelő metszéspontnál. Így egy olyan síkbeli ábrát kapunk, amely tükrözi az egyenesek térbeli helyzetét. Döntsük el, hogy a következő ábrák közül melyek kaphatók meg a fenti eljárással.

6) Egy táblázatnak n sora és m > n oszlopa van. Néhány mezőbe egy *-t írunk úgy, hogy minden oszlopba kerüljön legalább egy csillag. Bizonyítsuk be, hogy van olyan csillag, amely sorában több csillag szerepel mint oszlopában.

Megbeszélés: Február 21. (csütörtök) 4 óra, Riesz terem

Hajnal Péter