Feladatmegoldó speciálkollégium

A speciálkollégium felvehető a leckekönyvbe, de érdeklődő hallgatókat is szívesen látunk, akár egy-egy alkalomra is.

Az első feladatsor:

1) Egy \sqrt{2} sugarú körlapot érint egy 1 sugarú körlap. Érintési pontukat egy ragadós piros festékkel megjelöljük úgy, hogy ez mindkét kör kerületén nyomot hagy. A kisebb kör elkezd gördülni a nagyobb kerületén. A gördülés folyamán a kisebb körön lévő festéknyom további pontokat színez ki a nagyobb körön és a nagyobb kör festett pontjai kiszínezik a kisebb kör további pontjait. Minden festéknyom új nyomokat hozhat létre. Határozzuk meg, hogy hány piros pont lesz a nagyobb kör kerületén, ha a kis kör 1000 fordulatot tesz.

2) Egy szabályos háromszög oldalait n részre osztjuk. Az osztáspontokon keresztül párhuzamosokat rajzolunk az oldalakkal. Így az eredetit n^{2} kisebb háromszögre osztottuk. A kis háromszögek sorozatát láncnak nevezzük, ha az egymás utáni háromszögeknek van közös oldala és nincsenek közöttük ismétlődőek. Határozzuk meg a legnagyobb olyan számot amennyi háromszögből álló lánc létezik.

3) n dobozt festünk ki fehér, piros, kék illetve sárga szinekre. Azt akarjuk, hogy a kék dobozok száma páros, a sárgáké páratlan legyen. Hányféle ilyen színezés lehetséges?

4) Egy körben adott k darab körcikk. Mindegyik körcikk középponti szöge legfeljebb \frac{π}{k^{2}−k+1}. A k darab körcikk feketére van festve, míg a kör maradék része fehér. Bizonyítsuk be, hogy a kör elforgatható úgy, hogy minden fekete körcikk eredetileg fehér területre kerüljön.

5) Adott a síkon n egyenes. Közülük nincs három olyan, amely egy pontra illeszkedik. Két metszéspontot szomszédosnak nevezünk, hogy ha ugyanazon az egyenesen vannak és nincs köztük más metszéspont. Bizonyítsuk be, hogy a metszéspontok kiszínezhetőek három színnel úgy, hogy szomszédos metszéspontok különböző színt kapjanak.

6) Adott a koordinátasíkon négy racionális koordinátájú pont, amelyek közül nincs három egy egyenesen és nem egy paralelogramma csúcsai. Húzzuk meg a pontjaink által meghatározott egyeneseket. Az így kapott egyenesek metszéspontjait vegyük hozzá a már meglévő pontjainkhoz. Ismételjük meg az eljárást az újabb ponthalmazzal (az általuk meghatározott egyenesek metszéspontjait adjuk hozzá az eddigi pontjainkhoz). Bizonyítsuk be, hogy minden racionális koordinátájú pont megkapható a fenti eljárás ismételgetésével.

Az első foglalkozás február 14-én (csütörtökön) 4 órakor lesz a Riesz teremben.

Hajnal Péter