FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

11 . feladatsor

1) Legyen (a_{n,k})_{n,k=1}^{∞} az a végtelen mátrix, melyre a következő két feltétel teljesül (a) a_{1,k} = 1 minden k-ra,

(b) a_{n+1,k} = \frac{a_{n,k}}{a_{n,1}+a_{n,2}+...+a_{n,k}} minden n-re és k-ra. Bizonyítsuk be, hogy a mátrix szimmetrikus, azaz minden n és k esetén a_{n,k} = a_{k,n}.

2) Adott a síkon n+1 pont. Nevezzünk egy f : → függvényt hiperkonvexnek, ha grafikonja áthalad az adott pontokon, és f^{(n)}(x) > 0 tetszőleges valós x-re. Jellemezzük azokat a pont (n+1)-eseket, melyekhez létezik hiperkonvex függvény! Bizonyítsuk be, hogy ha valamely n+1 pontra létezik hiperkonvex függvény, akkor létezik hiperkonvex polinom is!

3) Van-e olyan P (x, y, z) valós polinom, melyre P (x, y, z) > 0 pontosan akkor teljesül, ha szerkeszthető háromszög |x|, |y| és |z| hosszú szakaszokból?

4) Tekintsünk 3 olyan parabolát a síkon, melyek direktrixe ugyanaz az egyenes, és közülük bármelyik kettő pontosan két pontban metszi egymást. Az első és a második parabolák metszéspontján áthaladó egyenest jelöljük e_{12}-vel. Hasonlóan definiáljuk az e_{13} és e_{23} egyeneseket is. Bizonyítsuk be, hogy az e_{12}, e_{13} és e_{23} egyenesek egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak. (Ez a feladat eddig ugyanolyan triviális, mint amilyennek látszik.) Mutassuk meg, hogy a fenti állítás akkor is igaz, ha a három direktrix nem azonos, csak párhuzamos!

5) Ubul igazságos szerencsejátékot játszik egy t : [0, 1] → ^{+} ”tétfüggvénnyel”. Ez azt jelenti, hogy ha x pénze van egy adott játék előtt, akkor t(x) tétet tesz fel, és így pénze \frac{1}{2} eséllyel x + t(x) lesz, \frac{1}{2} eséllyel pedig x − t(x). Feltesszük, hogy t(x) ≤ min(x, 1 − x) és t(x) = 1 − x, ha x ∈ [0.99, 1]. Ubulnak az 1 Ft elérése a célja: jelölje P_{t}(x_{0}) annak a valószínűségét, hogy x_{0} ∈ [0, 1] kezdőtőkével és t tétfüggvénnyel véges sok játék után eléri a pénze az 1-et. Nevezzünk egy t függvényt optimálisnak, ha P_{t}(x_{0}) = x_{0} tetszőleges x_{0} ∈ [0, 1] esetén. Bizonyítsuk be:

a) Tetszőleges t tétfüggvényre P_{t}(x_{0}) ≤ x_{0} , minden x_{0} ∈ [0, 1]-re,

b) Ha minden pozitív ϵ-ra inf{t(x) : x ∈ [ϵ, 1−ϵ]} > 0, akkor t optimális tétfüggvény!

c) Szükséges-e a b)-beli feltétel ahhoz, hogy t optimális legyen? 6^{⋆}) Legyen H ≥ 2 egész. Igazoljuk a következő két egyenlőséget:

(i) ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{H+k} \frac{\binom{2k}{k}}{4^{k}} = \frac{1}{H} \frac{4^{H}}{\binom{2H}{H}},

(ii) ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(H+k)(H+k−1)} \frac{\binom{2k}{k}}{4^{k}} = \frac{1}{2H(H−1)} \frac{4^{H}}{\binom{2H}{H}},

A feladatok megbeszélése: május 6-án, Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Benkő Dávid  Hajnal Péter  Totik Vilmos