FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

10 . feladatsor

1) Egy kör kerületére egy Σ véges halmazból vett jeleket írunk fel úgy, hogy az összes lehetséges módon n egymás utáni karaktert kijelölve és ezeket az óramutató járásával azonos sorrendben elolvasva az összes Σ^{n}-beli jelsorozatot megkapjuk. Legalább hány karaktert kell ehhez felírnunk?

2) Legyen K egy kompakt topologikus csoport, és F a K-n értelmezett folytonos valós függvények halmazának egy kontinuumnál nagyobb számosságú részhalmaza. Igazoljuk, hogy léteznek olyan f, g ∈ F függvények és létezik olyan x_{0} ∈ K pont, amelyekre

f(x_{0}) = g(x_{0}) = max_{x∈K} f(x) = max_{x∈K} g(x).

3) Legyen G egy véges csoport. Bizonyítsuk be, hogy G-ből kijelölhetők g_{1}, g_{2},…, g_{s} elemek úgy, hogy a következő két feltétel egyszerre teljesüljön:

(i) {g_{1}^{ϵ_{1}}g_{2}^{ϵ_{2}} … g_{s}^{ϵ_{s}} : ϵ_{1}, ϵ_{2},…, ϵ_{s} ∈ {0, 1}} = G, (ii) s ≤ log n + log log n + 10.

4) Legyen f egy, a [0, 1] intervallumon értelmezett folytonos valós függvény. Kiszámítandó

lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} ⋯ ∫_{0}^{1} f( \sqrt[n]{x_{1} ⋯ x_{n}})dx_{1} ⋯ x_{n}.

5) Legyenek h_{i} ∈ {−1, 1}^{n} (i = 1, 2,…, k) páronként ortogonális vektorok. Bizonyítsuk be, hogy ezen vektorok tetszőleges nem triviális lineáris kombinációjában legalább \frac{n}{k} darab nem 0 komponens van.

6) Legyen B[0, 1] ill. C[0, 1] a [0, 1] intervallumon értelmezett korlátos ill. folytonos valós függvények tere a szuprémum normával. Létezik-e olyan folytonos lineáris T : B[0, 1] → C[0, 1] leképezés, amelyre T f = f minden f ∈ C[0, 1]-re?

A feladatok megbeszélése: április 22-én , Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Hajnal Péter Totik Vilmos