FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

8 . feladatsor

1) Legyen p egy páratlan prímszám. Az {1, 2,…, 2p} halmaznak hány olyan p elemű részhalmaza van, amelyre teljesül hogy elemeinek összege p-vel osztható?

2) Legyen C egy kör, L pedig egy húrja. Ha X az L egy tetszőleges pontja, akkor legyen A és B az a két kör, amelyek érintik mind C-t, mind pedig L-et, az utóbbit az X pontban. Bizonyítandó, hogy A és B sugarának a hányadosa független X választásától.

3) Adott n darab mindkét irányban végtelen, egész számokat tartalmazó sorozat. Tudjuk, hogy bármely kettőnek van közös eleme. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szám, amelyik mindegyik sorozatban benne van. Igaz marad-e a feladat valós elemű sorozatokra? Igazoljuk, hogy ha n számtani sorozat közül bármely háromnak van közös eleme, akkor mindnek van.

4) Tudjuk, hogy az {a + nd}_{n=0}^{∞} pozitív egészekből álló számtani sorozatban van négyzetszám. Igazoljuk, hogy akkor van olyan is, amely kisebb, mint 3ad + d^{2}!.

5) Egy végtelen sakktábla k (k ≥ 3) egymást követő sorából álló sáv fehér mezőibe számokat írunk a következő szabályok szerint: Az első és utolsó sor összes (fehér) mezőjébe 1-eseket írunk. Az összes többi sorba egy-egy 1-est írunk úgy, hogy az 1-eseken lépdelve egy király az első sorból le tud érni az utolsóba. A többi mező kitöltésénél csupán arra kell vigyáznunk, hogy egy fekete négyzet négy szomszédos mezőjére került négy szám:

\begin{aligned}& a \\ b & & c \\ & d \end{aligned}

teljesítse a bc = ad + 1 összefüggést. Az alábbi ábrán egy példát láthatunk egy sáv a fenti szabályok szerinti kitöltésére:

…  1  1  1  1  1  1  …
1  4  2  2  2
1  3  7  3  3  1
1  2  5  10  4  1
1  3  7  13  1  2
1  4  9  3  1
1  5  2  2  1
…  1  1  1  1  1  …

Igazoljuk, hogy

(i) a kezdeti 1-esek leírása után a fenti szabályok egyértelműen definiálják a sáv kitöltését,

(ii) a sávba kerülő számok természetes számok lesznek, (iii) a sáv kitöltése periódikus lesz.

6) Van-e végtelen sok olyan általános helyzetű pont a síkon, hogy bármely kettő távolsága irracionális, de bármely három által meghatározott háromszög területe racionális?

A feladatok megbeszélése: április 8-án , Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Hajnal Péter Totik Vilmos