FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

7 . feladatsor

1) Egy háziasszony vendégeket vár. A vendégek számát pontosan nem tudja előre, de tudja, hogy vagy m vagy n vendég lesz. Fel szeretné vágni a vendégségre sütött tésztát (nem feltétlenül egyenlő részekre) úgy, hogy mindkét lehetőségre felkészüljön, azaz a részeket akár m, akár n azonos nagyságú csoportba oszhassa. Határozzuk meg a kialakítandó részek számának minimumát. Mi a helyzet, ha a vendégek számára három lehetőség is van?

2) Legyen G topologikus csoport, c_{1},…, c_{n} komplex számok, és tegyük fel, hogy a G-n értelmezett f és g komplex értékű függvényekre minden x, y ∈ G mellett teljesül a

∑_{k=1}^{n} c_{k}f(xy^{k}) = f(x)g(y)

egyenlőség. Igazoljuk, hogy ha f korlátos, és valamely folytonos χ karakterre

inf_{x∈G} ℜf(x)χ(x) > 0,

akkor g folytonos.

3) Egy (a_{i,j})_{i,j=1}^{n} mátrixot Hadamard mátrixnak nevezünk, ha elemei 1 abszolút értékűek (a_{i,j} ∈ {−1, 1}) és különböző sorainak skaláris szorzata 0 (∑_{j=1}^{n} a_{i_{1},j}a_{i_{2},j} = 0 minden i_{1} ≠ i_{2} esetén). Legyen H = (h_{i,j})_{i,j=1}^{n} egy Hadamard mátrix. Ha R egy tetszőleges a × b részmátrixa H-nak, akkor az R-beli elemek összege legfeljebb \sqrt{abn}.

4) Mutassuk meg, hogy ha f_{1},…, f_{n} egy tartományon értelmezett lineárisan független holomorf függvények, akkor az f_{i}\overline{f_{k}}, i, k = 1,…, n rendszer is lineárisan független.

5) Egy l hosszú sorozatot, amely tagjai egy n elemű karakterhalmazből kerülnek ki univerzális sorozatnak nevezünk ha az n karakter tetszőleges π sorbaállítására a sorozatból kihúzható l − n tag úgy, hogy a maradék n tag a π sorbaállítást adja. Legyen l(n) a legrövidebb univerzális sorozat hossza. Adjunk becsléseket az l(n) függvényre.

6) Igazoljuk, hogy R^{n}-ben minden nem megszámlálható halmaz tartalmaz olyan nem megszámlálható részhalmazt, amely pontjai közötti távolságok mind különbözők. Mutassuk meg azt is, hogy az állítás nem feltétlenül igaz szeparábilis Hilbert térben.

A feladatok megbeszélése: március 25-én , Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Hajnal Péter Totik Vilmos