FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

6 . feladatsor

1) Egy térbeli ponthalmaznak két síkra való merőleges vetülete is kör. Bizonyítsuk be, hogy a két körvetület sugara egyenlő.

2) Legyen τ(n) az n természetes szám osztóinak száma. Mely n-ekre nincs az

n, τ(n), τ(τ(n)), ⋯

sorozatban négyzetszám?

3) Egy kör kerületére n számot írtunk úgy, hogy összegük 0 és közöttük legyen egy 1-es. Bizonyítsuk be, hogy van két szomszédos szám, amelyek különbsége legalább \frac{4}{n}.

4) Igazoljuk, hogy ha f egyenletesen közelíthető [0, 1]-en nemnegatív együtthatós polinomokkal, akkor f analitikus az egységkörben.

5) Két turista (Spórolós és Felvágós) egy ország ugyanazon n városát szeretné meglátogatni. Bármely két város között van közvetlen útvonal, amelyen való utazás (mindkét irányban ugyanakkora) költségét az összes várospárra ismerik. Spórolós véletlenül kiválaszt egy várost, majd megtekintése után a többi város közül abba utazik, amelyhez való út a legolcsóbb (ha több út ára a legolcsóbb, akkor ezek közül tetszőlegeset választ). Útját ennek a ”filozófiának” megfelelően folytatja: az éppen látogatott városból az eddig nem látogatott városok közül abba utazik, amelyikbe vezető út a legolcsóbb. Felvágós is véletlenül kiválaszt egy várost (nem feltétlenül ugyanazt, amelyiket Spórolós), majd megtekintése után a többi város közül abba utazik, amelyhez való út a legdrágább. Útját ennek a ”filozófiának” megfelelően folytatja: az éppen látogatott városból az eddig nem látogatott városok közül abba utazik, amelyikbe vezető út a legdrágább. Mindkét turista n − 1 utazás után (tehát útjuk nem lesz zárt, azaz nem térnek vissza kiinduló városukba) befejezi a kirándulását. Bizonyítsuk be, hogy Felvágós legalább annyit fizet az utazásaiért mint Spórolós. (Ez a feladat nem olyan könnyű mint elsőre gondolnánk.)

6) Bizonyítandó, hogy az \{⌊n\sqrt{2}⌋\}_{n=1}^{∞} sorozatban végtelen sok kettő hatvány szerepel! A feladatok megbeszélése: március 18-án , Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Hajnal Péter Totik Vilmos