FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

5 . feladatsor

1) Igaz-e, hogy a síkon tetszőlegesen adott páronként közös ponttal nem rendelkező szakaszok végpontjaik közül bizonyosak összekötésével egy darab, önmagát nem metsző, törött vonallá kapcsolhatók össze?

2) Adjunk meg olyan részhalmazát C[0, 1]–nek (a [0, 1] intervallumon folytonos függvények halmaza), amelynek bármely végtelen részhalmazából képezett lineáris kombinációk halmaza sűrű C[0, 1]-ben!

3) Adott néhány négyzet, amelyek területeinek összege 4. Bizonyítsuk be, hogy lefedhető velük az egységnégyzet.

4) A P és Q 1 főegyütthatós polinomokról tudjuk azt, hogy mind a 2 és mind a 4 értéket ugyanazokon a helyeken veszik fel. Igaz–e, hogy ekkor P = Q?

5) Adott n darab különböző tömegű tárgy. Ezeket egyesével egy kétkarú mérleg valamelyik serpenyőjébe rakjuk (kezdetben a mérlegen nincs semmi, míg eljárásunk végére az összes tárgy a mérlegre kerül általunk elhatározott eloszlásban a két serpenyő között). Eljárásunk minden lépésében jegyezzük fel a mérleg kitérését. Így például a B(al)J(obb)BJJBJ sorozathoz juthatunk amennyiben n = 8, az első lépésben a bal serpenyőbe raktuk a kiválasztott tárgyat, majd a jobb serpenyőbe raktunk egy nehezebb tárgyat ... Igazoljuk, hogy tetszőleges n hosszú B—J sorozatot előállíthatunk a tárgyak elhelyezésének alkalmas megválasztásával.

6) A valós számok additív csoportja vektortérré tehető–e a komplex számok felett? A feladatok megbeszélése: március 11-én , Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Hajnal Péter Totik Vilmos