FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

4 . feladatsor

1) Adott a síkon n pont. Kiválasztunk közülük néhány párt és vesszük az összekötő szakaszaikat. Ezt úgy tesszük, hogy a kapott szakaszokra igaz lesz, hogy bármely két szakasznak pontosan egy közös pontja legyen (ez egy közös végpont vagy a két szakasz metszéspontja). Bizonyítsuk be, hogy a kijelölt szakaszok száma nem lehet több a kiinduló pontok számánál, azaz n-nél.

2) Igazoljuk, hogy van olyan c > 0 konstans, hogy az alábbi állítás igaz. Legyenek 1 < a_{1} < … < a_{n} < x pozitív egészek úgy, hogy ∑_{1}^{n} 1/a_{i} ≤ 1. Ekkor azon x-nél kisebb számok száma amelyek nem oszthatók egyik a_{i}-vel sem, legalább cx/ log x.

3) Egy (valós) szám kerekítettje olyan egész szám, amely ettől a számtól 1-nél kevesebbel tér el.

a) Bizonyítsuk be, hogy n darab számot kerekíthetünk úgy, hogy az n kerekített szám összege az eredeti számok összegétől legfeljebb \frac{1}{2}-del térjen el.

b) Bizonyítsuk be, hogy egy n × m-es táblázat elemeit kerekíthetjük úgy, hogy a megváltoztatott táblázat összes sor- és oszlopösszege a neki megfelelő eredeti sorvagy oszlopösszeg kerekítettje legyen.

4) Mutassuk meg, hogy minden nem mérhető halmaz felbomlik két nem mérhető halmaz uniójára.

5) Legyenek P_{1},…, P_{n} tetszőleges pontok a síkon. Mindegyik P_{i} pontban elhelyezünk egy fényszórót, amely a sík egy \frac{2π}{n} szögű szegletét világítja meg, és a megvilágított szeglet csúcsa (azaz P_{i}) körül elforgatható. Bizonyítsuk be, hogy a fényszórók elforgathatók úgy, hogy az egész sík meg legyen világítva.

6) Legyen 0 < a_{k} < 1 minden k = 1, 2,…-re. Mi annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy minden 0 és 1 közötti x-re legyen olyan π permutációja a természetes számoknak, amellyel

x = ∑_{k=1}^{∞} \frac{a_{π(k)}}{2^{k}}?

A feladatok megbeszélése: március 4-én , Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Hajnal Péter Totik Vilmos