FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

3 . feladatsor

1) Egy m × n méretű ”sakktábla” szemközti oldalait azonosítjuk, és így a ”tóruszsakktáblát” kapunk. Egy futót helyezünk az egyik mezőre, amely a sakk szabályainak tóruszra történő természetes módosításai szerint léphet. Hány mezőre léphet ez a futó?

2) Igazoljuk, hogy minden n-re van olyan H véges ponthalmaz a síkon, hogy H minden x pontjára pontosan n db. olyan pontja van H-nak, amelyeknek x-től vett távolsága 1.

3) Egy játék 3, 4, 5 és 6 darab kavicsot tartalmazó halommal indul. Két játékos felváltva vesz el kavicsokat a következő két lehetőség valamelyike alapján:

(i) Egy halomból egyetlen kavics elvétele feltéve, hogy legalább két kavics marad a halomban,

(ii) Kettő vagy három kavicsból álló halom (teljes) elvétele. Az a játékos nyer, aki az utolsó lépést teszi. Kinek van nyerő stratégiája? Adjunk is meg egy nyerő stratégiát.

4) Két játékos, A és B felváltva adják meg az

x^{2n} + a_{2n−1}x^{2n−1} + ⋯ + a_{1}x + 1, n ≥ 4

polinom a_{2n−1},…, a_{1} együtthatóit (tetszőleges sorrendben). A kezd, és akkor nyer, ha végül a polinomnak nem lesz valós zérushelye. Adjunk meg nyerő stratégiát B számára!

5) Egy kör kerületére felírt számokkal a következő átalakítást végezzük el: Egymás utáni három, x, y, z számot kiválasztva, azokat (ebben a sorrendben) x + y, −y, z + y-nal helyettesítjük (ebben a sorrendben).

a) Bizonyítsuk be, hogy minden olyan esetben, amikor a körön lévő számok összege pozitív, elérhető egy és csakis egy helyzet, ahol minden szám nemnegatív.

b) Tegyük fel, hogy olyan számokkal indulunk, amelyek összege pozitív. Ha van negatív számunk, akkor válasszunk ki egy olyan hármast, amelynek középső száma negatív, és hajtsuk végre az átalakítást. Ilyen módon folytassuk számaink átalakítását. Döntsük el, vajon minden esetben véget ér-e az eljárás véges sok lépés után.

6) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely előáll

81^{x} − 5^{y}

alakban, ahol x és y egészek? A feladatok megbeszélése: február 25-én , Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Hajnal Péter Totik Vilmos