FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

2 . feladatsor

1) Egy a_{1}, a_{2},…, a_{k} sorozat bármely 7 egymást követő elemének összege pozitív, továbbá bármely 11 egymást követő elemének összege negatív. Határozzuk meg k-nak, a sorozat hosszának maximumát.

2) Határozzuk meg azt az a számot, amelyre a

∑_{k=1}^{1997} \frac{1}{x − k} ≥ a

egyenlőtlenség megoldáshalmazát adó intervallumok hossza éppen 1997.

3) A d dimenziós tér egy P ponthalmazának affin burka a teljes tér. Tudjuk, hogy P bármely két pontjához tartozik egy-egy, egymással párhuzamos támaszhipersík. (P egy P pontjához tartozó támaszhipersíkja egy olyan P -n átmenő hipersík, amely P semelyik két pontját sem választja el.) Bizonyítsuk be, hogy |P| ≤ 2^{d}.

4) Fel lehet-e bontani az egész számok halmazát három diszjunkt osztályra oly módon, hogy minden n-re az n, n − 50 és n + 1987 számok mindig különböző osztályokba essenek?

5) Legyen G egy ponttranzitív gráf (azaz egy olyan gráf, amelynek minden u, v csúcsára létezik olyan φ automorfizmusa, amely u-t v-be képzi le). Egy G-ben történő (v_{0}-ból induló, k hosszú) véletlen séta alatt egy olyan v_{0}, v_{1},…, v_{k} csúcssorozatot értünk, amelyben a v_{i} csúcs (1 ≤ i ≥ k) a v_{i−1} csúcs szomszédai közül egy uniform módon, a séta többi csúcsától függetlenül választott elem. Legyen P^{(i)}(u, v) annak a valószínűsége, hogy az u-ból induló i hosszú véletlen séta v-be érkezik. Bizonyítsuk be, hogy

P^{(2k)}(u, u) ≥ p^{(2k)}(u, v).

6) Két játékos felváltva mond 1997-nél kisebb számokat oly módon, hogy a mondott szám nem lehet egy korábban mondott szám osztója. Az veszít, aki nem tud újabb számot mondani. Igazoljuk, hogy a kezdő játékosnak van nyerö stratégiája.

A feladatok megbeszélése: február 18-án , Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Hajnal Péter Totik Vilmos