FELADATMEGOLDÓ SPECIÁLKOLLÉGIUM

1 . feladatsor

1) A tér pontjait kiszínezzük három színnel. Bizonyítsuk be, hogy valamely színosztály pontjai között az összes lehetséges távolság előfordul.

2) Igazoljuk, hogy az {x^{n} + x^{n^{2}}}_{n=1}^{∞} rendszer lineáris kombinációinak halmaza sűrű C[0, 1]-ben!

3) Legyen M a sík egy nem korlátos konvex részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy M tartalmaz egy félegyenest.

4) Legyen

S_{n} = min \{∑_{k=1}^{n} \sqrt{(2k − 1)^{2} + a_{k}^{2}} : a_{k} ≥ 0, ∑_{k=1}^{n} a_{k} = 17\} .

Igazoljuk, hogy az S_{2}, S_{3},… számok közül pontosan egy egész.

5) Egy táblázatnak n sora és m(> n) oszlopa van. Néhány mezőbe egy ⋆-ot írunk úgy, hogy minden oszlopba kerüljön legalább egy csillag. Bizonyítsuk be, hogy van olyan csillag, amely sorában több csillag szerepel mint oszlopában.

6) Legyen P tetszőleges komplex együtthatós polinom. Igazoljuk, hogy P′ zéróhelyei a P zéróhelyeinek konvex burkában vannak.

A feladatok megbeszélése: február 11-én , Farkas terem, 17:00 Minden érdeklődőt szeretettel várunk A feladatsort NE VIDD EL. A könyvtárban van másolható példány.

Hajnal Péter Totik Vilmos