\input /peter/univ/_macros

\maxmeret
\nopagenumbers

\centerline{[1]}

\bigskip\bigskip


Most olyan halmazrendszereket vizsg\'alunk,
amelyben nincs k\'et olyan halmaz, amelyek egyike tartalmazza
a m\'asikat.
A k\"ovetkez\H{o} t\'etel szerz\H{o}je ut\'an
az ilyen rendszereket
Sperner-rendszernek nevezik.

\definicio
$\cal H$ egy {\it Sperner-rendszer},
ha $I\not=J\in{\cal H}$ eset\'en
$I\not\subseteq J$.
\qedd

\megjegyzes
%(Megjegyezz\"uk, hogy erre a fogalomra az irodalomban
%t\"obb elnevez\'es is ismert.) 
Ha az
alaphalmazunk (univerzumunk) r\'eszhalmazait a tartalmaz\'as
rel\'aci\'oval
egy parci\'alis rendezett halmaznak tekintj\"uk, akkor
a Sperner-rendszerek
fogalma az antil\'anc fogalm\'aval esik egybe.

\pelda
Legyen $E={U\choose k}$. A 
kapott halmazrendszer egy Sperner-rendszer.

Ez a p\'elda azt mutatja, hogy ha $|U|=n$, akkor
l\'etezik ${n\choose \lfloor {n\over 2}\rfloor}$
elem\H{u} Sperner-rendszer.
A k\"ovetkez\H{o} t\'etel azt mondja, hogy a fenti p\'elda optim\'alis.

A t\'etel a $(2^U,\subseteq)$
r\'eszbenrendezett halmaz nyelvezet\'et
haszn\'alja. \'Erdemes
a bizony\'{\i}t\'as el\H{o}tt
n\'eh\'any fogalmat defini\'alni.

\definicio
Legyen ${\bf P}=(P,\leq)$
egy r\'eszbenrendezett halmaz.
$L\subseteq P$ egy l\'anc,
ha $L$ b\'armely k\'et eleme
\"osszehasonl\'{\i}that\'o.
\ujsor
A $(2^U,\subseteq)$
r\'eszbenrendezett halmazban egy
$L$ l\'anc
{\it intervallum
l\'anc}, ha
$L$ elemeinek elemsz\'amai valamely
$i\leq j$-re
az $\set{i,i+1,\ldots,j-1,j}$
halmazt adj\'ak.
\ujsor
A $(2^U,\subseteq)$
r\'eszbenrendezett halmazban egy
$L$ l\'anc
{\it szimmetrikus
l\'anc}, ha
$L$ elemeinek elemsz\'amai valamely
$i$-re
az $\set{i,i+1,\ldots,n-i-1,n-i}$
halmazt adj\'ak.
\qedd

Ezek ut\'an l\'assuk a Sperner-rendszerekre vonatkoz\'o
alapt\'etelt.

\tetel
{\rm (Sperner t\'etele)}
Legyen $\cal H$ egy Sperner-rendszer egy $n$-elem\H{u}
halmaz felett. Ekkor
$$|{\cal H}|\leq {n\choose \lfloor {n\over 2}\rfloor}.$$

\bizonyitas
Bel\'atjuk, hogy
a $(2^U,\subseteq)$
r\'eszbenrendezett halmaz felbonthat\'o
diszjunkt, szimmetrikus l\'ancok
uni\'oj\'ara.
Ebb\H{o}l a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa ad\'odik, hiszen
a szimmetrikus l\'ancok mindegyike
tartalmaz pontosan
egy $\lfloor n/2\rfloor$ elem\H{u}
halmazt, azaz a fenti partici\'ohoz pontosan
${n\choose \lfloor n/2\rfloor}$ sok
szimmetrikus l\'anc sz\"uks\'eges.
Tetsz\H{o}leges Sperner-rendszer, defin\'{\i}ci\'oj\'an\'al
fogva,
mindegyik l\'ancb\'ol legfeljebb egy halmazt tartalmaz.
\'Igy val\'oban ad\'odik a Sperner-rendszer sz\'amoss\'ag\'ara vonatkoz\'o
becsl\'es.

A diszjunkt szimmetrikus l\'ancokra val\'o felbont\'as
l\'etez\'es\'et
az alaphalmaz m\'eret\'ere,
$|U|$-ra
vonatkoz\'o indukci\'oval igazoljuk.

A $|U|=1,2,3$ esetet k\"onny\H{u} ellen\H{o}rizni.

Az indukci\'os l\'ep\'eshez tegy\"uk fel, hogy
$U-\set{x}$ ($|U-\set{x}|=n-1$)
r\'eszhalmazait szimmetrikus l\'ancokba
particion\'altuk. Legyenek
a l\'ancaink $C_1,\ldots, C_k$.
Legyen
${\cal C}_i=\set{H_{j_i}^{(i)}\subseteq\ldots\subseteq H_{n-1-j_i}^{(i)}}$
az $i$-edik l\'anc, ahol $|H_\alpha|=\alpha$.
Ekkor
$$\tilde {\cal C}_i=\set{H_{j_i}^{(i)}\subseteq H_{j_i}^{(i)}\cup\set{x}
\subseteq H_{j_i+1}^{(i)}\cup\set{x}\subseteq\ldots\subseteq
H_{n-1-j_i}^{(i)}\cup\set{x}}$$
\'es
$$\hat {\cal C}_i=\set{H_{j_i+1}\subseteq H_{j_1+2}\subseteq\ldots\subseteq
H_{n-1-j_i}}$$
k\'et l\'anc.

$\hat {\cal C}_i$ lehet \"ures is.
\'Igy a rekurzi\'o \'altal kapott nem \"ures l\'ancok sz\'ama
nem felt\'etelen\"ul k\'etszerese az
el\H{o}z\H{o} l\'anchalmaz elemsz\'am\'anak.

K\"onny\H{u} ellen\H{o}rizni, hogy
a $\tilde {\cal C}_i,\hat {\cal C}_i$ ($i=1,\ldots, k$) l\'ancok
az $U$ halmaz r\'eszhalmazainak szimmetrikus l\'ancokba
val\'o partici\'oja.
\qed

\kovetkezmeny
$$\ext\left(n;\set{\set{H,I}:H\subseteq I}\right)={n\choose
\left\lfloor {n\over 2}\right\rfloor}.\qedf$$

Egy enn\'el j\'oval elemibb k\"ovetkezm\'enyt is megeml\'{\i}t\"unk.
A szimmetrikus l\'ancokba t\"ort\'en\H{o}
part\'{\i}ci\'o l\'etez\'es\'eb\H{o}l
kiolvashat\'o
a k\"ovetkez\H{o} j\'ol ismert
egyenl\H{o}tlens\'egsorozat.

\kovetkezmeny
$${n\choose 0}\leq{n\choose 1}\leq\ldots\leq{n\choose\big\lfloor{n\over2}
\big\rfloor}={n\choose\big\lceil{n\over2}
\big\rceil}\geq\ldots\geq{n\choose n-1}\geq{n\choose n}.\qedlf$$

\vfill\eject

\centerline{[2]}

A k\"ovetkez\H{o}ben a Sperner t\'etel egy \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at
k\"oz\"olj\"uk. A t\'etel D. Lubell, K. Yamamoto \'es L.D. Meshalkin-t\'ol
ered. A szerz\H{o}k neveinek kezd\H{o}bet\H{u}i ut\'an
LYM egyenl\H{o}tlens\'egnek
nevezz\"uk.

\tetel
{\rm (LYM egyenl\H{o}tlens\'eg)}
Ha $\cal H$ egy Sperner-rendszer $U$ felett, akkor
$$\sum_{H\in{\cal H}}{1\over{|U|\choose |H|}}\leq 1.$$

\bizonyitas
Ha a $U$ alaphalmaz elemeit sorbarendezz\"uk,
akkor besz\'elhet\"unk arr\'ol, hogy
egy $H\subseteq U$ halmaz kezd\H{o}szelet-e.

A tov\'abbiakban a $U$ alaphalmaz \"osszes sorbarendez\'es\'et
vessz\"uk \'es megsz\'amoljuk, hogy a
sorba\'all\'{\i}t\'asok mindegyik\'et
figyelembe v\'eve
a $\cal H$ Sperner-rendszernek
h\'anyszor lesz kezd\H{o}szelet eleme.
Azaz a $(\pi,H)$ p\'arokat sz\'amoljuk meg, ahol
$\pi$ a $U$ halmaz sorba\'all\'{\i}t\'asa \'es $H\in{\cal H}$
egy halmaz, amely $\pi$ eset\'en kezd\H{o}szeletet
alkot.
A p\'arokat k\'etf\'elek\'eppen sz\'amoljuk meg.

Az els\H{o} esetben $\pi$ szerint csoportos\'{\i}tjuk a p\'arokat.
Vegy\"uk \'eszre, hogy egy r\"ogz\'{\i}tett
$\pi$ eset\'en legfeljebb egy halmaz lesz kezd\H{o}szelet,
hiszen $\cal H$ Sperner-rendszer.
Azaz a p\'arok sz\'ama legfelejebb $n!$.

A m\'asodik esetben a $H$ halmaz szerint csoportos\'{\i}tunk.
K\"onny\H{u} ellen\H{o}rizni, hogy
egy adott $H$ halmaz eset\'en
$|H|!|U-H|!$ sok $\pi$ sorba\'all\'{\i}t\'as
eset\'en
lesz $H$ kezd\H{o}szelet.
Azaz a k\'erd\'eses p\'arok sz\'ama
$\sum_{H\in{\cal H}}|H|!|U-H|!$.

\'Igy
$$\sum_{H\in {\cal H}} |H|!(|U-H|)!\leq n!.$$
Rendez\'es ut\'an ad\'odik a bizony\'{\i}tand\'o.
\qed

\megjegyzes
A LYM egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'as\'aban
felhaszn\'alt \"otlet
gyakran haszn\'alhat\'o. Emiatt k\"ul\"on n\'evvel is
szokt\'ak eml\'{\i}teni,
{\it permut\'aci\'os technik\'anak}
nevezik.

A LYM egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"onny\H{u} levezetni
a Sperner t\'etelt: 

Legyen $\cal S$ egy $n$ elem\H{u}
halmaz feletti Sperner rendszer.
$$1\geq\sum_{S\in {\cal S}}{1\over{n\choose |S|}}\geq
\sum_{S\in {\cal S}}{1\over{n\choose \left\lfloor{n\over2}\right\rfloor}}=
{|{\cal S}|\over{n\choose \left\lfloor{n\over2}\right\rfloor}}.$$
Azaz $|{\cal S}|\leq{n\choose \left\lfloor{n\over2}\right\rfloor}.$

\vfill\eject

\centerline{[3]}

Ebben a fejezetben a k\'et diszjunkt
halmazt z\'arjuk ki halmazrendszer\"unkb\H{o}l.

\tetel
Legyen $k,n$ k\'et pozit\'{\i}v eg\'esz
sz\'am, amelyre $k\leq {n\over 2}$ .
Legyen $\cal H$ egy $k$-uniform
halmazrendszer egy $n$-elem\H{u}
halmazon, amelyben b\'armely k\'et halmaz metszi egym\'ast.
Ekkor
$$|{\cal H}|\leq {n-1\choose k-1}.$$

\bizonyitas
R\"ogz\'{\i}ts\"unk
egy $\hat U=\set{P_0,\ldots,P_{n-1}}\subseteq {\cal K}$ halmazt,
ahol $\cal K$ egy k\"or \'es a $P_i$ pontok indexei
a k\"or\"onval\'o sorrendet t\"ukr\"ozik.
Az indexekkel $\mod n$ aritmetika szerint sz\'amolunk.

Legyen $\phi:U\->\hat U$ egy bijekci\'o.
$H\in 2^U$ eset\'en term\'eszetesen \'ertelmezhet\H{o}
$\phi(H)\subseteq\hat U$.
$\hat H\subseteq \hat U$ egy {\it \'{\i}v},
ha valamely $i$ term\'eszetes \'es $j$ pozit\'{\i}v eg\'esz
sz\'amokra
$\hat H=\set{P_i,\ldots,P_{i+j-1}}$.
$j$ az {\it \'{\i}v hossza}.

Legyen ${\cal H}\subseteq 2^U$ a t\'etel \'al\'{\i}t\'as\'aban
szerepl\H{o} halmazrendszer.
Sz\'amoljuk meg az \"osszes olyan
$(\phi,H)$ p\'art, ahol
$\phi:U\->\hat U$ bijekci\'o, $H\in{\cal H}$ \'es
$\phi H$ egy \'{\i}v. Az ilyen p\'arok sz\'ama legyen
$X$.

I)
A p\'arokat $H\in{\cal H}$ szerint sz\'amoljuk le.
Egy adott $H$ eset\'en a megfelel\H{o} $\phi$-k
sz\'am\'at k\"onnyen meghat\'arozhatjuk:
$\phi H$ k\'epe egy $k$ hossz\'u \'{\i}v.
Ezt $n$-f\'elek\'eppen v\'alaszthatjuk ki.
A v\'alaszt\'as ut\'an $H$ k\'epe $|H|!=k!$ lehet.
A marad\'ek elemek k\'epeit $(n-|H|)!=(n-k)!$-f\'elek\'eppen
v\'alaszthatjuk. Ez alapj\'an
$X=\sum_{H\in {\cal H}}n|H|!(n-|H|)!=|{\cal H}|nk!(n-k)!$.

II)
A p\'arokat $\phi$ szerint sz\'amoljuk le.
Egy adott $\phi$ eset\'en h\'any $H\in{\cal H}$
halmaz k\'epe \'{\i}v?
Erre becsl\'est adunk. Becsl\'es\"unk arra
alapul, hogy a megsz\'amoland\'o
$H$-k k\'epe p\'aronk\'ent metsz\H{o} $k$ hossz\'u \'{\i}vek.
A ``p\'aronk\'enti metsz\'es'' tulajdons\'ag hat\'art
szab az \'{\i}vek sz'am\'anak.

\be
\lemma
Legyen $k\leq{n\over 2}$. Legyen ${\cal I}\subseteq 2^{\hat U}$
$k$ hossz\'u \'{\i}vek egy halmaza, amelyn\'el b\'armely k\'et
\'{\i}v metszi egym\'ast. Ekkor $|{\cal I}|\leq k$

\bizonyitas
Azt mondjuk, hogy az $I$ \'{\i}v elv\'alasztja a $Q$ \'es
$R$ pontot, ha $Q\in I$ \'es $R\not\in I$ vagy 
$Q\not\in I$ \'es $R\in I$.
K\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy
$P_i$ \'es $P_{i+1}$-t pontosan 2 darab
$k$ hossz\'u \'{\i}v v\'alasztja el $2^{\hat U}$-ben.
$k\leq{n\over 2}$ eset\'en ez a k\'et \'{\i}v nem metszi
egym\'ast. Teh\'at a lemm\'aban szerepl\H{o}
$\cal I$ halmazrendszerb\H{o}l
tetsz\H{o}leges szomsz\'edos pontp\'arhoz legfeljebb
egy halmaz v\'alaszthatja el \H{o}ket.
Legyen $I\in{\cal I}=\set{P_i,P_{i+1},\ldots,P_{i+k-1}}$.
Ekkor egy ${\cal I}-\set{I}$ tetsz\H{o}leges \'{\i}ve
metszi $I$-t \'es \'{\i}gy
a $(P_i,P_{i+1}),(P_{i+1},P_{i+2}),\ldots,(P_{i+k-2},P_{i+k-1})$
p\'arok ($k-1$ darab p\'ar)
valamelyik\'et elv\'alasztja.
Ez alapj\'an ${\cal I}-\set{I}$-nek legfeljebb
$k-1$ eleme lehet. Ebb\H{o}l
a lemma \'all\'{\i}t\'asa ad\'odik.
\qedl

\ki
A lemma alapj\'an $X\leq kn!$.

Az I \'es II pontokat \"osszefoglalva:
$|{\cal H}|nk!(n-k)!\leq kn!$.
Rendez\'es ut\'an kapjuk a bizony\'{\i}tand\'ot.
\qed

Egy $n$ elem\H{u} $U$ halmaz egy adott $u$ pontj\'at tartalmaz\'o
\"osszes $k$-elem\H{u} r\'eszhalmaz mutatja, hogy a becsl\'es \'eles.
Az $k={n\over 2}$ esetben tov\'abbi extrem\'alis halmazrendszerek
is adhat\'ok: Ekkor az $U\choose k$ elemei p\'arba \'all\'{\i}that\'ok \'ugy,
hogy minden p\'arba egy halmaz \'es annak $U$-ra 
vonatkoz\'o komplementere
legyen. Ekkor minden p\'arb\'ol egy elemet v\'alasztva egy extrem\'alis
halmazrendszert kapunk.

\vfill\eject

\centerline{[4]}

A k\"ovetkez\H{o}kben egy bonyolultabb kiz\'art strukt\'ur\'at n\'ez\"unk.

\definicio
Egy {\it $s$ szirm\'u napraforg\'o} egy
${\cal H}=\{H_1,H_2,\ldots, H_s\}$ halmazrendszer, amelyre
minden $i\not=j$ eset\'en, $H_i\cap H_j=\cap_{k=1}^s H_k$.
A halmazok k\"oz\"os metszet\'et a napraforg\'o
{\it t\'any\'erj\'anak}
nevezz\"uk.
\qedd

\megjegyzes
A napraforg\'o elnevez\'es helyett gyakran
haszn\'alj\'ak a $\Delta$-rendszer elnevez\'est is.

\tetel
(Erd\H{o}s-Rado, 1960)
Legyen $\cal H$ egy $k$-uniform halmazrendszer,
amely nem tartalmaz $s$ szirm\'u napraforg\'ot.
Ekkor
$$|{\cal H}|\leq k!(s-1)^k.$$

\biz
$k$-ra vonatkoz\'o teljes indukci\'ot v\'egz\"unk. A $k=1$ eset
nyilv\'anval\'o.

Tegy\"uk fel, hogy $k\geq 2$ \'es
legyen $\cal H$ egy $k!(s-1)^k$ elelm\H{u}
$k$-uniform halmazrendszer. Bel\'atjuk, hogy $\cal H$ tartalmaz
$s$ szirm\'u napraforg\'ot. Legyen $\set{H_1,H_2,\ldots, H_t}$
$\cal H$-beli halmazok maxim\'alis p\'aronk\'ent diszjunkt
rendszere. Ha $t\geq s$, akkor a $H_i$-k egy 
napraforg\'ot alkotnak legal\'abb
$s$ szirommal. Ha $t<s$, akkor $U=\cup_{i=1}^t H_i$ egy
legfeljebb $(s-1)k$ elem\H{u} halmaz, amellyel
$\cal H$ minden elem\'enek van nem \"ures k\"oz\"os r\'esze.

Ekkor l\'etezik olyan $u\in U$, amelyet legal\'abb
${k!(s-1)^k\over k(s-1)}=(k-1)!(s-1)^{k-1}$
$\cal H$-beli elem tartalmaz.
Legyen ${\cal H}^\prime =\set{H\setminus\set{u}:u\in H\in {\cal H}}$.
Ekkor ${\cal H}^\prime$ egy legal\'abb $(k-1)!(s-1)^{k-1}$
elem\H{u}
$(k-1)$-uniform halmazrendszer. \'Igy az indukci\'os feltev\'es
alapj\'an l\'etezik $\set{N_1, N_2,\ldots,N_s}\subseteq {\cal H}^\prime$
napraforg\'o. Ekkor
$\set{N_i\cup\set{u}}_{i=1}^s$ $s$ szirm\'u
napraforg\'o lesz $\cal H$-ban.
\qed

A fenti t\'etelekkel ellent\'etben ez a becsl\'es nem
pontos. Elk\'epzelhet\H{o}, hogy m\'ar az $s=3$ eset\'en
a fels\H{o} becsl\'es \'eles\'{\i}thet\H{o} $c^k$-ra, valamely $c$
konstansra.

\vfill\eject

\centerline{[5]}

\definicio
Egy $\cal B$ halmazrendszert {\it blokkrendszernek} nevez\"unk
$(v,k,\lambda)$ param\'eterekkel, hogy ha
\item{(i)} $\cal B$ egy $v$ elem\H{u} $V$ halmaz feletti halmazrendszer,
\item{(ii)} $\cal B$ $k$-uniform ($k\geq 2$),
\item{(iii)} minden $u,v\in V$ eset\'en
$|\set{B\in {\cal B}:u,v\in B}|=\lambda\geq 1$.
\ujsor\noindent
$\cal B$ elemeit {\it blokkoknak} nevezz\"uk.
\qedd

\megjegyzes
Igen gyakran blokkrendszer alatt egy
$(V,{\cal B},I)$ h\'armast \'ertenek, amely
h\'armas komponensei:
$V$, pontok halmaza; $\cal B$, blokkok
halmaza; $I$, illeszked\'esi rel\'aci\'o.
Minden $B$ blokkhoz hozz\'arendelhet\H{o}
$V$ egy r\'eszhalmaza:
$H_B=\set{v\in V: vIB}$.
A h\'armast\'ol elv\'art tulajdons\'agok
a fenti eml\'{\i}tett tulajdons\'agok.
\ujsor
Ebben a defin\'{\i}ci\'oben elk\'epzelhet\H{o}, hogy
k\'et blokknak ugyanaz a halmaz felel meg.
Teh\'at ennek \'es a mi defin\'{\i}ci\'onknak
a viszonya
``ugynaz'' mint hipergr\'afok \'es halmazrendszerek, illetve
hurok\'eln\'elk\"uli gr\'afok \'es egyszer\H{u} gr\'afok viszonya.

\pelda
$(V,{\cal B}={V\choose k})$ egy blokkrendszer ($2\leq k< |V|$),
ahol $\lambda={v-2\choose k-2}$.

\pelda
Legyen $V=\set{1,2,3,4,5,6,7}$
\'es ${\cal B}=\{\,\set{1,2,3}$,
$\set{3,4,5}$,
$\set{5,6,1}$,
$\set{1,7,4}$,
$\set{3,7,6}$,
$\set{5,7,2}$,
$\set{2,4,6}\,\}$. Ekkor $v=7$, $k=3$ \'es $\lambda=1$.

\megjegyzes
A fenti p\'elda els\H{o} r\'an\'ez\'esre
egy egyedi ``kicsi\idkoz
p\'elda. K\'es\H{o}bb majd l\'atni fogjuk, hogy egy
nagyon fontos p\'eldacsal\'ad,
a v\'eges projekt\'{\i}v s\'{\i}kok egy eleme.
$V$ elemei a pontok, a blokkok pedig az egyenesek, mint
pontok halmaza.
A v\'eges geometri\'ak ismer\H{o}inek megeml\'{\i}tj\"uk, hogy
a v\'eges affin s\'{\i}kokb\'ol is sz\'armaztathat\'ok
blokkrendszerek.

Egy term\'eszetes k\'erd\'es, hogy milyen
$(v,k,\lambda)$ sz\'amh\'armasok eset\'en
l\'etezik blokkrendszer.
A k\"ovetkez\H{o}kben sz\"uks\'eges felt\'eteleket
vezet\"unk le.
A felt\'etelekhez \'ugy jutunk el, hogy \'uj param\'etereket
vezet\"unk be \'es ezekre vonatkoz\'o azonoss\'agokat
\'{\i}runk fel.

Legyen $b=|{\cal B}|$, a blokkok sz\'ama.
Ekkor az \"osszes pontp\'arra lesz\'amolva az ezeket tartalmaz\'o
blokkokat ${v\choose 2}\lambda$-t kapunk \'es
minden blokkot $k\choose 2$-szer sz\'amoltunk.
Teh\'at $\lambda{v\choose 2}={k\choose 2}b$.
Azaz $b={\lambda{v\choose 2}\over {k\choose 2}}$.
Teh\'at $k(k-1)|\lambda v(v-1)$.

Legyen $r_x=|\set{B\in{\cal B}:v\in B}|$
($x\in V$). Bel\'atjuk, hogy 
$r_x$ nem f\"ugg $x$-t\H{o}l, hanem egy csak a blokkrendszer
param\'etereit\H{o}l f\"ugg\H{o} $r$ sz\'am.
Ehhez sz\'amoljuk le az $x$ ponton \'atmen\H{o}
blokkok sz\'am\'at. Az $x$-n k\'{\i}v\"uli
$v-1$ darab pont mindegyik\'en megy \'at $\lambda$
darab $x$-t is tartalmaz\'o blokk. \'Igy
$(v-1)\lambda$-t kapunk. M\'asr\'eszt \'{\i}gy
minden $x$-n \'atmen\H{o} blokk $k-1$-szer lesz sz\'amolva.
Teh\'at $(v-1)\lambda=(k-1)r$.
Azaz $r={(v-1)\lambda\over k-1}$.
Teh\'at $k-1|(v-1)\lambda$.

\lemma
Ha l\'etezik $(v,k,\lambda)$
param\'eter\H{u} blokkrendszer, akkor
\item{(a)} $k-1|\lambda(v-1)$,
\item{(b)} $(k-1)k|\lambda(v-1)v$.
\qedl

A fenti k\'et, $(v,k,\lambda)$-ra vonatkoz\'o,
felt\'etelt {\it oszthat\'os\'agi felt\'eteleknek} nevezz\"uk.
Ez sz\"uks\'eges, de nem elegend\H{o} felt\'etel.
Azonban a k\"ovetkez\H{o} igen m\'ely
t\'etel azt mondja, hogy
ez majdnem elegend\H{o} felt\'etel.

\tetel
{\rm (Wilson, 1971)}
Legyen $k\geq 3,\lambda\geq 1$
k\'et tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz.
Ekkor l\'etezik $v_0(k,\lambda)$ eg\'esz, hogy
ha $v>v_0(k,\lambda)$ \'es az oszthat\'os\'agi
felt\'etelek teljes\"ulnek $(v,k,\lambda)$ h\'armasra, akkor
l\'etezik blokkrendszer a fenti param\'eterekkel.



\end