Ramsey-tételének egy alkalmazására jut időnk az előadás keretében. Erdős Pál és Szekeres György geometriai tételét ismertetjük.
Tétel (Erdős Pál és Szekeres György tétele): Ha adott egy elég nagy elemszámú (alkalmasf függvényre, f(k)-nál nem kisebb elemszámú) általános helyzetű (nincs hárompontunk egy egyenesen) ponthalmaz a síkon, akkor található pontjaink között k olyan, amelyek konvex pozícióban vannak (egy konvex k-szög csúcshalmazát alkotják).
Bizonyítás: Ramsey tételének négyesek két-színezésére vonatkozó változatát alkalmazzuk. Az alaphalmaz a tételben szereplő általános helyzetű ponthalmaz. Egy pontnégyes piros színt kap, ha nem konvex helyzetű, különben kék színű lesz. Ramsey-tétele alapján ha a ponthalmaz elemszáma elég nagy, akkor lesz max{k,5} méretű homogén halmaz.
1. Lemma: Nem létezik 5 méretű piros-homogén halmaz.
2. Lemma:Egy kék-homogén halmaz egy konvex sokszög csúcshalmaza.
Mindkét lemma nagyon egyszerű geometriai okoskodással meggondolható. Az egyetlen fogalom, aminek legalább intuitív ismerete kívánatos: egy véges ponthalmaz konvex burka.
Az 1. lemma garantálja, hogy a Ramsey-tétel által felkínált két alternatíva közül a kék homogén halmaznak kell előfordulnia. A 2. lemma igazolja, hogy a nagy kék honogén halmaz egy nagy konvex helyzetű részhalmazt ad.
Megjegyzés: A tételhez elvezető probléma neve Happy End probléma. Elnevezését onnan kapta, hogy a kérdést Klein Eszter vetette fel az 1. Lemmában megfogalmazott állítás felismerésével, amit egy beszélgetés során népszerűsített. Erdős Pált és Szekeres Györgyt ezen beszélgetés indította el arra, hogy a lemmát továbbgondolják, majd eljussanak tételükig. A tételen kiv'ül más hatása is volt a beszélgetsének: Szekeres György és Klein Eszter közelebbi barátsága, majd hosszú házasságuk. Ez adta Erdős Pálnak az ötletet, hogy a problémát Happy End problémának nevezze el.
Internet források: