A Turán-tétel azt mondja meg, hogy egy k+1 elemű klikk hiánya milyen feltélte ró a |V| csúcsszámra és az |E| élszámra. A válasz: |E|<=|E(T|V|,k)|. Sőt az |E| élszám el is érheti felső becslését, azaz |E(T|V|,k)| az élszám extremális értéke.
A Dirac-tétel azt mondja meg, hogy Hamilton-kör hiánya milyen feltételt ró a |V| csúcsszámra és a minimális fokszámra. A válasz: min{d(v): v a G gráf csúcsa} < |V|/2.
A fák élszámára vonatkozó tételbőL következtethetünk arra, hogy a összefüggőség esetén |E|>=|V|-1.
A Turán-tétel indította el az extremális gráfelmélet egy fontos kérdéskörét a Turán-típusú problémákat: Hány éle lehet egy n pontú egyszerű gráfnak, ha nincs benne R részgráf. R-re mint tiltott részgráfra hivatkozunk. A maximális élszámot ext(n;R)-rel jelöljük. A Turán-tétel újrafogalmazása: ext(n;Kk+1)=|E(Tn,k)|.
Néhány további eredmény említünk.
I. Legyen Uk a k pontú üres gráf. Ekkor ext(n;Uk) nem jól definiált. Ha n>=k, akkor Uk tetszoleges n pontú gráf részgráfja lesz.
II. Ha Ik egyetlen élt tartalmazó k pontú gráf, akkor ext(n;R)=0.
III. Ha R-nek legalább két éle van, akkor már jóval több él lehet R elkerülése mellett. Ha R élei között van kettő, amely független, akkor egy n pontú csillag kerüli el R-et. Ha R élei között két él összefut, akkor egy maximális párosítás n ponton egy ~n/2 élű gráf, amely nem tartalmazza R-et. Azaz I és II kivételével minden R esetén alkalmas aR konstansra ext(n;R)>=aR·n.
IV. Legyen R= F fa. Ekkor alkalmas bF konstansra aF·n<=ext(n;F)<=bF·n. Ezt a vállalkozó hallgató megpróbálhatja igazolni. Az eredmény könnyen kiterjed arra az esetre, ha R egy erdő (azaz körmentes, de nem szükségszerűen összefüggő),
V. Ha R egy nem páros gráf, akkor a kétrészes Turán-gráf mutatja, hogy ext(n;R)-re n négyzetes függvényét lehet alsó becslésként adni.
VI. Ha khi(R)>=k=3, akkor |E(Tn,k-1)|<=ext(n;R). Valóban Tn.k-1 egy k-1 színezhető gráf, így k kromatikus sz'amú gráfot nem tartalmaz részgráfként. A fenti alsó becslés nagyságrendje (1-1/(k-1))(n2).
VII. Legyen khi(R)>=k=3. Az Erdős-Stone-tétel azt mondja ki, hogy ext(n;R)=(1-1/(k-1))(n2)+o(n2). A maradéktag o(n2), `kis ordó n2' egy olyan függvény, amely n2-tel osztva 0-hoz tart, amint n a végtelenbe tart. Nagy n értékénel ez a tág elhanyagolható a megfelelő Turán-gr'af élszámához képest. (A tétel khi(R)=2 esetén is igaz, de ekkor a megfelelő Turán-gráf élszáma 0, a `maradéktag' a lényeges).
VIII. A fentiekben nem tárgyalt eseteket akkor kapunk, ha R-et páros, kört tartalmazó gráfnak választjuk. Ekkor alkalmas aR, bR e's 1< cR<=dR<2 konstansokra aR·ncR<= ext(n;R)<=bR·ndR. A pontos nagyságrend megállapítása a legtöbb esetben mind a mai napig nyilt problémája a gráfelméletnek. Az első nem triviális eset, ha R=C4, azaz négy hosszú kör. Ez könnyen tárgyalható.