Operátornak nevezzük az S-bõl S-be képezõ függvényeket. Egy O operátor lineáris, ha minden s, t sorozatokra és c, d valós számokra O(c.s+d.t)=c.O(s)+d.O(t).
Példa: Az I identitás operátor minden sorozathoz önmagát rendeli.
Példa: Az S eltolás operátor az a(0), a(1), a(2), ... sorozathoz az a(1), a(2), a(3), ... sorozatot rendeli.
Példa: A D differenciaoperátor az a(0), a(1), a(2), ... sorozathoz az a(1)-a(0), a(2)-a(1), a(3)-a(2), ... sorozatot rendeli.
Példa: A Q négyzetreemelés operátor az a(0), a(1), a(2), ... sorozathoz az a(0)^2, a(1)^2, a(2)^2, ... sorozatot rendeli.
Megjegyzés: I, S, D operátorok lineárisak. A Q operátor nem lineáris.
Operátorokon is értelmezhetõk mûveletek.
Definíció: Két operátor összege úgy hat egy sorozaton, hogy a két operátor által adott egy-egy sorozat összegét rendeli hozzá.
Definíció: Egy operátor számszorosa egy sorozathoz az operátor alkalamzásával kapott sorozat számszorosát rendeli hozzá.
Definíció: Két operátor (O és P) szorzata (O.P) úgy hat egy sorozaton, hogy a P alkalmazásával kapott sorozatot helyettesítjük O-ba. Azaz a szorzás a kompozíció.
Megjegyzés: Könnyen ellenõrizhetõ az összeadás asszociativitása és kommutativitása. Hasonloán egyszerûen adódik a szorzás asszociativitása. A szorzás kommutativitása általában nem igaz.
Példa: D=S-I.
Példa: S.D=D.S .
A disztributivitási szabályra vonatkozó ismereteinket a következõ tétel foglalja össze.
Tétel:
(i) (O+Q)R=OR+QR,
(ii) ha O lineáris, akkor O(Q+R)=OQ+OR.
Egy s sorozatra ismételten alkalmazzuk a differenciaoperátort. Így sorozatok egy sorozatát kapjuk. Vegyük ezen sorozatok elsõ (0 indexû) elemit. Ezek egy sorozatot alkotnak. Hogyan kapcsolódik ez a kiinduló sorozathoz?
Legyen egy {s(i)} sorozathoz hozzárendelve a {t(i)} sorozat, ahol t(i)=(D^i s)(0). Néhány konkrét érték kifejezésével kapjuk, hogy t(0)=s(0), t(1)=s(1)-s(0), t(2)=s(2)-2s(1)+s(0), t(3)=s(3)-3s(2)+s(1)-s(0). Az is könnyen meggondolható, hogy az {s(i)} és {t(i)} sorozatok közötti viszony megfordítható, azaz {t(i)}-bõl kifejezhetõ {s(i)}. Az {s(i)} sorozat elsõ néhány értékére vonatkozó formulá könnyen felírható: s(0)=t(0), s(1)=t(1)+t(0), s(2)=t(2)+2t(1)+t(0), s(3)=t(3)+3t(2)+3t(1)+t(0).
Mindkét képlet könnyen bebizonyítható az operátoraritmetika segítségével:
t(i)=(D^i s)(0)=((S-I)^i s)(0). (S-I)^i az operátrorok számolási szabálya alapján (mindkét oldali disztributivitás alkalmazható hiszen S és I is lineáris, kommutativitás alkalmazható, hisz S hatványai és I felcserélhetõek) (S_I)^i kifejtehetõ a binomiális tételbeli szabálynak megfelelõen: t(i)=(i alatt i)(S^i s)(0)-(i alatt i-1)(S^{i-1} s)(0) +(i alatt i-2)(S^{i-2} s)(0)-(i alatt i-3)(S^{i-3} s)(0) +(i alatt i-4)(S^{i-4} s)(0)-...(-1)^i(i alatt i)(S^0 s)(0)= s(i)-i s(i-1)+(i alatt 2) s(i-2)-...+(-1)^i s(0).
s(i)= (S^i s)(0)=((D+I)^i s)(0)= (D^i s)(0)+(i alatt i-1)(D^{i-1} s)(0) +(i alatt i-2)(D^{i-2} s)(0)+(i alatt i-3)(D^{i-3} s)(0) +(i alatt i-4)(D^{i-4} s)(0)+...= t(i)+ i t(i-1)+ (i alatt 2) t(i-2)+...
Ezzel a megfordítási képletek alatt tárgyalt formulát is megkaptuk.