Definíció: Egy (v,k,l)-blokkrendszer egy (V,B) halmazrendszer, amely halmazait blokkoknak nevezzük
Kérdés: A blokkrendszereknek három paraméterét a definícióba olvasztottuk. Más paraméterek is bevezethetõk: b legyen a blokkok száma. r(x) legyen az x ponton áthaladó blokkok száma. I) Más paramétereket miért nem foglaltunk a definícióba? II) Miért pont ezt a három paraméter szerepel a definícióban? A kérdésekre a válasz:
I: A b és {r(x): x a V halmaz eleme} paraméterek kifejezhetõk a v,k,l paraméterek segítségével.
Ennek igazolásaképp tekintsük V elemeit egy város lakóinak és a blokkokat pedig a városban alapított kluboknak (pontosabban az egyes klubok tagjai által alkotott halmazoknak). Két egyszerû kérdést teszünk fel, amelyek két különbözõ módon való megválaszolása, és a két valász szúkségszerû egybeesése vezet el a hiányzó paraméterek kiszámításához.
Az elsõ kérdés: Minden klub egyszer gyûlést tart. Egy gyûlésen mindenki mindenkivel kezet fog. hányszor fogott kezet egy x lakosa városunknak?
1. gondolatmenet: x ember r(x) darab klubnak tagja, így r(x) darab gyûlesre ment el. Mindegyik gyûlésen k-1-szer fogott kezet. Tehát a válasz: r(x)(k-1).
2. gondolatmenet: v-1 lehetséges ember van, aki x-szel kezet fogott (a város x-tõl különbözõ lakosai). Mindegyik l-szer fogott x-szel kezet, hiszen együtt l-szer vettek közösen részt gyûlésen (lásd a blokkrendszerek definíciójának harmadik feltétele).
A két gondolatmenetnek ugyanarra az eredményre kell vezetni. Tehát r(x)(k-1)=(v-1)l. Azaz r(x)=l(v-1)/(k-1).
Megjegyzés: Mindenki láthatja (talán meglepetéssel), hogy az r(x) érték nem függ x-tõl. A blokkrendszer definíciójában szereplõ feltételek biztosítják, hogy minden pont ugyanannyi blokkban szerepeljen. A közös értéket (amely a blokkrendszerek egy fontos paramétere) a továbbiakban r-rel jelöljük.
A második kérdés: Mindegyik klub tagságikönyvet ad ki tagjainak. hány tagságikönyv lesz a városban.
1. gondolatmenet: Minden klub k-1 tagságikönyvet ad ki. b klub van, így az összes tagságikönyvek száma b(k-1).
2. gondolatmenet: Minden embernek r tagságikönyve lesz. Összesen tehát vr tagságikönyv lesz.
A kétféle gondolatmenetnek természetesen ugyanahhoz az eredményhez kell vezetni. Azaz b(k-1)=vr. Tehát b=vr/(k-1)=lv(v-1)/(k(k-1)).
II: Más paraméterhármas is szerepelhetne a definícióban. történetileg ezen hármast szokták a paraméterek elfogadott (standard) bázisának tekinteni.
A blokkrendszerek alapproblémája: Milyen (v,k,l) hármasokhoz található (v,k,l)-blokkrendszer?
A b és r paraméterek kifejezése természetesen ad egy szükséges feltételt, hiszen b és r természetes számok, így hányadosként való felírásuk bizonyos oszthátósági feltételeket adnak.
Lemma: Ha létezik (v,k,l)-blokkrendszer, akkor k-1|l(v-1) és (k-1)k|l(v-1)v.
Lemma:' Ha k-1|l(v-1) nem teljesül vagy (k-1)k|l(v-1)v nem teljesül, akkor nem létezik (v,k,l)-blokkrendszer.
Sajnos a fenti szükséges feltétel nem elégséges.
Az alapkérdés nehézségére utalandó megemlítünk két speciális esetet.
I. eset: (v,3,1)-blokkrendszerek pontosan a v ponthalmazú Steiner-rendszerek.
II. eset n>1 esetén (n^2+n+1,n+1,1)-blokkrendszerek pontosan az n paraméterû projektív síkok.
Az n paraméterû véges projektív síkok vizsgálatánál már lattuk, hogy a sík egyeneseit blokkoknak tekintve egy (n^2+n+1,n+1,1)-blokkrendszerhez jutunk.
Egy (n^2+n+1,n+1,1)-blokkrendszer blokkjait egyeneseknek tekintve ellenõrizni fogjuk a projektív sík axiómáit (a véges projektív paramétere a definíciója alapján nyilvánvalóan n-nek adódik).
Az elsõ axióma adódik abból, hogy l=1.
A második axióma tagadásaként tegyük fel, hogy van két diszjunkt egyenes. Ekkor azon pontpárak mindegyike, amelyek elsõ pontja az elsõ, második pontja a második egyenesrõl való, definiál egy összekötõ egyenest (az elsõ axiómát már ellenõrioztük). Az elsõ axióma felhasználásával kapjuk, hogy így (n+1)(n+1) különbözõ egyeneshez jutottunk. Az összes egyenes száma (a blokkrendszer b paramétere) könnyen számolható és n^2+n+1-nek adódik. Ez kevesebb mint (n+1)(n+1), ami ellentmondás.
A harmadik axióma bizonyításaként meg kell adnunk négy általános helyzetû pontot. Az elsõ két pont kiválasztása tetszõleges lehet. A harmadik pont legyen az elsõ kettõ által meghaat'rozott egyenesen kívüli pont (mivel az egyenes pontjainak száma n+1 és az összes pont száma n^2+n+1, ezért ilyen pont létezik). A kiválasztott három pont meghatároz három egyenest. könnyû látni, hogy ezek 3n pontot fednek le. Mivel n>1, ezért n^2+n+1>3n, azaz taláhatunk olyan pontot, amely a három egyenes egyikére sem esik. Ez az elõzõleg kiválasztott három ponttal egy általános helyzetû pontnégyest ad.
Megemlítettük,hogy nincs 6 paraméterû véges projektív sík. Ez ekvivalens azzal, hogy nincs (43,7,1)-blokkrendszer. Ez egy példa, ahol az oszthatósagi feltételek teljesülnek, de a blokkrendszer létezése nem igaz.
A fenti két speciális eset már mutatja a blokkrendszerek alapkérdésenek bonyolultságát.
Végül megemlítünk egy kapcsolatos tételt:
Tétel (Ray-Chaudri, Wilson): Ha k és l fix, akkor van olyan v_0 szám, hogy v>v_0 esetén, ha az oszthatosági feltételek igazak, akkor a megfelelõ blokkrendszer létezik.
Megjegyzés: Sajnos a véges projektív terek létezésének problémájához eza tétel nem nagy segítséget ad, hiszen k és l fixálása után a v érték is rögzül. Így az ``elég nagy'' ponthalmazról szóló tétel semmit mondó lesz.