Definíció: Az {1,2,...,n} halmaz egy sorbaállítását alternálónak nevezzük, ha az elsõtõl kezdve mindegyikre megnézzük, hogy a következõre áttérve növekvés vagy csökkenés történt és így a csökken, nõ, csökken, nõ, csökken, nõ, csökken, nõ, csökken, nõ, csökken, ... vagy nõ, csökken, nõ, csökken, nõ, csökken, nõ, csökken, nõ, csökken, nõ ... sorozathoz jutunk.

Jelölés: A fenti definícióban szereplõ két típusú permutációk halmaza legyen C(n), illetve N(n).

Megjegyzés: C(n) és N(n) elemei könnyen párbaállíthatók. Így elemszámuk közös.

Megjegyzés: Az alternáló permutációk halmaza C(n) és N(n) halmazok uniója. Ha n>1, akkor eza két halmaz diszzjunkt és az alternáló permutációk száma duplája C(n) és N(n) közös elemszámának.

Jelölés: C(n) és N(n) közös elemszáma E(n). Az Euler számok. E(0)=1.

Jelölés: Az alternáló permutációk száma n=1 esetén 1, n> 1 esetén 2E(n).

Nem tárgyaljuk.

Tétel: 2E(n)=(n-1 alatt 0)E(0)E(n-1)+(n-1 alatt 1)E(1)E(n-2)+ (n-1 alatt 2)E(2)E(n-3)+(n-1 alatt 3)E(3)E(n-4)+...

Nem tárgyaljuk.

Tétel: Az E(n) számok exponenciális generátorfüggvénye sec x + tg x.