Kurusa Árpád:
Nemeuklidészi geometriák, Polygon Jegyzettár 47,
Polygon Kiadó, Szeged, 2009.

Habár az euklidészi geometriát már több mint kétezer éve ismerik a matematikusok, és Euklidész axiómái "kiállták az idő próbáját", nem volt még egy olyan fontos és nehéz kérdése a matematikának azóta sem, mint amit éppen Euklidész párhuzamossági axiómája indukált. Majd' kétezer év bizonyítási kísérletei után a XIX. században Bolyai János (1802-1860), majd N. I. Lobacsevszkij (1792-1856) és részben F. Gauss (1777-1855) is igazolta, hogy a párhuzamossági axióma független a többi euklidészi axiómától. Érdekes, hogy mind a három "felfedező" a hiperbolikus geometriát találta, pedig a gömb mindig is tárgya volt a geometriának.

E könyv célja, hogy a maga természetes módján, éppen a gömb vizsgálatának eredményeképpen vezesse be a legegyszerűbb nemeuklidészi geometriákat. A könyv a gömbön talált nemeuklidészi jelenségek absztrakcióján át térképezi fel a projektív geometriát (valójában csak a projektív síkot vizsgálva), majd ennek a háromszög-egyenlőtlenséget kielégítő metrizálásait vizsgálva, a többi között megtalálja a hiperbolikus geometria realitását is.

A könyv mindhárom nemeuklidészi geometriában részletesen megvizsgálja a háromszög szögeinek és oldalainak mértékei közötti trigonometriai összefüggéseket. Ezeket használva a klasszikus nemeuklidészi geometriákban --- a megkezdett úton mintegy visszafelé járva --- megtalálja az euklidészi geometriát a gömbi és a Bolyai-féle hiperbolikus síkon is.

Ez a könyv eltér a hasonló területet feldolgozó könyvek között nem csak az axiomatika elkerülésében, de abban is, hogy a tárgyalás központi elemévé a kettősviszonyt teszi, és ezen keresztül vizsgálja a szokásos projektív tételeken --- mint a projektivitásokra, polaritásokra és kúpszetekre vontozó eredményeken --- túl a projektív sík metrizálási lehetőségeit is, mely a tükrözéses metrikák meghatározásán keresztül kapcsot képez az affin sík euklidészi metrizálása, valamint a differenciálgeometriában először előkerülő konstansgörbületű terek között.

A könyv csak a kétdimenziós nem euklidészi geometriákat vizsgálja, de ez nagyon is kifizetődő abban a tekintetben, hogy emiatt minden nemeuklidészi jelenség konkrét, jól ismert geometriai objektumokon mutatkozik meg, melyek megértését igen sok ábra is segíti.

Végül említést érdemel, hogy a könyv foglalkozik Hilbert híres, a párizsi 1990-es Matematikai Világkonferencián elhangzott problémafelvető előadásában negyedikként elhangzott "egyenes mint két pont közötti legrövidebb út" kérdésével. Az eredetileg németül elhangzott előadást angolra fordítva a http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html lehet elolvasni.

Megvásárolható a Typotex botjában.