Tartalomjegyzék
Bevezető 1
1. Lebesgue integrál 11
1.1. Mérhetőségi
tér. 11
1.2.
Topologikus tér. 13
1.3.
Mérhető függvények. 15
1.4.
Mértéktér. 20
1.5.
Egyszerű függvények. 23
1.6.
Pozitív függvény integrálja. 25
1.7.
Komplex függvény integrálja. 32
1.8.
Nulla mértékű halmazok. 37
1.9.
Feladatok. 42
2. Mértékek kiterjesztése 47
2.1. Halmazrendszerek.
47
2.2. Kiterjesztés
algebrára. 50
2.3.
Kiterjesztés szigma-algebrára. 51
2.4.
A kiterjesztett mérték teljessége. 57
2.5.
Feladatok. 59
3. Mértékek Rk-ban 61
3.1. Borel halmazok Rk-ban.
61
3.2. Eloszlásfüggvény.
65
3.3. Lebesgue-Stieltjes
mérték és integrál. 69
3.4.
Pozitív változású függvények.
74
3.5. Lebesgue mérték.
81
3.6. A Riemann
integrálhatóság jellemzése. 88
3.7.
Feladatok. 92
4. Regularitás 97
4.1. Topológiai
alapfogalmak. 97
4.2.
Regularitási feltételek. 105
4.3.
Approximáció folytonos függvényekkel.
110
4.4. Feladatok. 112
5. Mértékterek szorzata 115
5.1. Két mértéktér
szorzata. 115
5.2. Ismételt
integrálok. 121
5.3.
Véges sok mértéktér szorzata.
126
5.4. Végtelen sok
valószínűségi mértéktér
szorzata. 131
5.5. Feladatok.
138
6. Függvényterek 141
6.1. Egyenlőtlenségek.
141
6.2. Lp
terek. 146
6.3. Banach tér.
153
6.4. Hilbert tér.
160
6.5. Feladatok. 167
7. Abszolút folytonosság és szingularitás 171
7.1. Komplex mértékek.
171
7.2. Két mérték
kapcsolata. 177
7.3. A
Lebesgue mérték szerinti derivált.
189
7.4. Feladatok. 196
8. Komplex Borel mértékek az egyenesen 199
8.1. Korlátos változású
függvények. 199
8.2.
Abszolút folytonos és szinguláris függvények.
204
8.3. Integrálási
szabályok. 213
8.4.
Feladatok. 217
9. Ortonormált rendszerek, Fourier sorok 221
9.1. Ortonormált
vektorrendszerek. 221
9.2. A
trigonometrikus rendszer. 227
9.3.
Fourier sor konvergenciája. 232
9.4.
Fourier sor Cesaro összegzése. 235
9.5.
Fourier sor Abel összegzése. 240
9.6.
Feladatok. 247
10. Lineáris funkcionálok kiterjesztése 251
10.1. Hahn--Banach Tétel.
251
10.2. Banach limesz.
257
10.3. Banach integrál
és mérték. 261
10.4.
Feladatok. 267
11. Banach tér teljességének következményei 269
11.1. Egyenletes korlátosság.
269
11.2. Folytonos függvények
Fourier sora. 271
11.3. Nyílt
leképezések. 274
11.4.
Lineáris transzformáció gráfja.
279
11.5. Feladatok. 281
12. Lp terek duálisai 283
12.1. A duális tér
azonosítása. 283
12.2.
Banach térbeli adjungált. 291
12.3.
Reflexivitás. 293
12.4.
Diszkrét mértékek. 295
12.5.
Feladatok. 297
13. Folytonos függvények terének duálisa 301
13.1. Reguláris komplex
mértékek. 301
13.2.
Pozitív lineáris funkcionálok előállítása.
308
13.3. Korlátos
lineáris funkcionálok előállítása.
318
13.4. Feladatok. 323
14. Gyenge topológiák és approximáció 327
14.1. Gyenge topológiák.
327
14.2. Extremális
pontok. 332
14.3. Borel mérték
tartója. 335
14.4.
Approximáció. 336
14.5.
Feladatok. 341
Irodalomjegyzék 345
Jelölések 347
Név- és tárgymutató 351