Osztók-oszthatóság - Egyéb osztók-oszthatóság témakörbe eső problémák:

• 2.32. probléma (a könyv 36. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy $n^2+3n+5$ egyetlen $n$ természetes szám esetén sem osztható $121$-gyel.
• 2.37. probléma* (a könyv 39. oldalán): Milyen $1$-nél nagyobb $m$ egész számokra igaz, hogy $m$ osztója az $1\cdot2\cdot3\cdots(m-1)$ szorzatnak?
• 2.44. probléma** (a könyv 43. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\geq3$ egész szám, akkor $$t={{(3n)!}\over {n!(n+1)!(n+2)!}}$$ egész szám.
• 2.48. probléma* (ld. még 2.49; a könyv 46. oldalán): Van-e $2000$ egymás után következő olyan természetes szám, hogy ezek mindegyikének létezik $a^{2000}$ alakú osztója? Itt természetesen $a>1$ pozitív egész szám, és $a^{2000}$ számonként változhat.
• 2.49. probléma* (ld. még 2.47, 2.48, 2.50; a könyv 46. oldalán): \mitem{a)} Létezik-e olyan $n$ természetes szám, hogy minden páros $k$ természetes szám esetén $$k^k+1, k^{k^k}+1, \ldots$$ végtelen sorozat egyetlen tagja sem osztható $n$-nel? \mitem{b)} Bármely $n$ természetes számhoz található olyan $k$ természetes szám, hogy a $$k+1, k^k+1, k^{k^k}+1, \ldots$$ végtelen sorozat minden tagja osztható $n$-nel.\par
• 2.50. probléma** (ld. még 2.47, 2.48, 2.49; a könyv 47. oldalán): Az $n^k$ alakú számokat, ahol $n>1$, $k>1$ természetes szám, hatványszámnak fogjuk nevezni. \mitem{a)} Létezik-e hatványszámokból álló $m$ tagú számtani sorozat? $(m$ tetszőleges pozitív egész szám.$)$ \mitem{b)} Létezik-e különböző hatványszámokból álló végtelen sok tagú számtani sorozat? \mitem{c)} Létezik-e különböző számokból álló végtelen sok tagú számtani sorozat, amelynek egyetlen tagja sem hatványszám?\par
• 2.51. probléma* (a könyv 48. oldalán): Legyen $k$ és $m$ két különböző pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a $2^k+2^m$ és a $3^k+3^m$ alakú számok között végtelen sok négyzetszám van. Igaz-e hasonló állítás a $4^k+4^m$, $5^k+5^m$, $6^k+6^m$, $7^k+7^m$ alakú számokra?
• 2.58. probléma* (a könyv 53. oldalán): Van $m$ dobozunk, mindegyikben néhány labda. Legyen $n<m$ adott pozitív egész szám. Egy lépés a következőt jelenti: kiválasztunk tetszőlegesen $n$ dobozt, és mindegyikbe beleteszünk egy labdát. Mutassuk meg, hogy \mitem{a)} Ha $(m,n)=1,$ akkor lehetséges, hogy véges sok lépés után mindegyik dobozban ugyanannyi labda legyen. \mitem{b)} Ha $(m,n)\not =1,$ akkor lehetséges kezdetben labdákat úgy elhelyezni a dobozokban, hogy ezután véges sok lépéssel semmiképpen sem lehet elérni, hogy mindegyik dobozban ugyanannyi labda legyen.\par
• 2.59. probléma* (a könyv 54. oldalán): Teljes négyzet $2$, $3$, $7$ vagy $8$-ra nem végződhet. Mi lehet az utolsó előtti jegy? Tekintsük a következő négyzeteket: $10^2=100$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $16^2=256$, $8^2=64$, $26^2=576$, $9^2=81$, $14^2=196$. Utolsó előtti jegyként tehát $0$-tól $9$-ig minden egyjegyű szám felléphet. Most mutassuk meg, hogy az utolsó jegy előtt $101$ nem állhat!
• 2.60. probléma (ld. még 2.61, 2.62, 2.63; a könyv 54. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ egy derékszögű háromszög oldalai $a$, $b$ a két befogó, $c$ az átfogó, akkor $a^2+b^2=c^2.$ Az $$x^2+y^2= z^2$$ egyenlet $a, b, c\in \nn^+$ megoldását pitagoraszi számhármasnak nevezzük. Ha itt $(a,b)=1,$ akkor $(a,c)=1$ és $(b,c)=1$ is teljesül. Az olyan $a$, $b$, $c$ pitagoraszi számhármast, amelyben szereplő bármely két szám legnagyobb közös osztója $1,$ alapmegoldásnak, vagy primitív megoldásnak nevezzük. $($Az előbbi megjegyzés szerint elegendő persze kikötni például azt, hogy $(a,b)=1.)$ Könnyű belátni, hogy az alapmegoldások ismeretében az összes megoldást ismerjük. Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet alapmegoldása, akkor $a$ és $b$ közül pontosan egyik páros szám!
• 6.7. probléma** (ld. még 6.3; a könyv 255. oldalán): Mutassuk meg, hogy végtelen sok prímszám van.