Határértékszámítás - Sorozat határértéke témakörbe eső problémák:

• 2.45. probléma* (a könyv 45. oldalán): Az $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, $\ldots$ számsorozatot a következőképpen értelmezzük:$$x_1={1\over2},\quad x_{n+1}=x_n^2+x_n,$$ ha $n\in \nn^+.$ Állapítsuk meg az $$S={1\over{x_1+1}}+{1\over{x_2+1}}+\cdots+ {1\over{x_{100}+1}}$$ összeg egész részét!
• 6.8. probléma* (ld. még 6.1, 6.2; a könyv 256. oldalán): Igazoljuk, hogy bármely háromszögben található két olyan oldal, melyek hosszai különbségének abszolút értéke kisebb, mint a kerület hatodrésze.
• 6.10. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 259. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ olyan pozitív egész számok, hogy $a^2+b^2=c^2,$ akkor az ${a/ b}$ számot pitagoraszi racionális számnak nevezzük. ${a/ b}$-vel együtt ${b/ a}$ is pitagoraszi racionális szám. Mutassuk meg, hogy a pitagoraszi racionális számok a nemnegatív valós számok körében sűrűn vannak. $($Ezen a sűrűségen azt értjük, hogy bárhogyan is tekintünk a pozitív félegyenesen egy intervallumot, ebben van pitagoraszi racionális szám.$)$
• 6.12. probléma* (ld. még 6.1; a könyv 263. oldalán): $A$ és $B$ teniszeznek. Egy szetet játszanak. A szetnek akkor van vége, amikor valamelyikük legalább hat játékot nyer úgy, hogy a másik legalább kettővel kevesebbet nyer. A győztes a labdáknak legalább hány százalékát nyerte meg?
• 6.13. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 263. oldalán): Legyen $n$ természetes szám. Vizsgáljuk meg, hogy az $$x^2+y^2=n$$ egyenletnek hány egész számokból álló megoldása van? Jelöljük ezt a számot $r(n)$-nel. $n=0$ esetén egy megoldás van: $(0,0).$ $r(1)=4,$ mert $n=1$ esetén négy megoldás van: $(1,0); (0,1); (-1,0); (0,-1)$. Ellenőrizhetjük, hogy $r(2)=4.$ $r(3)= 0,$ amiről próbálkozással is meggyőződhetünk, de gondolkodhatunk a következő módon is: Ha $x^2+y^2$ páratlan egész szám, akkor $x$ és $y$ közül az egyik páros, a másik páratlan. Páros szám négyzete osztható $4$-gyel, páratlan szám négyzete $4$-gyel osztva maradékul $1$-et ad. Ezért nem csupán azt kaptuk, hogy $x^2+y^2$ nem lehet $3$, hanem azt is, hogy $4k+3$ alakú sem lehet, ahol $k\in \nn.$ Nemcsak ilyen $n$ számokra lesz az $r\colon\nn\rightarrow \nn$ függvény $0$. Meggyőződhetünk róla, hogy például $r(12)=0.$ Az $r$ végtelen sok $n$ esetén lesz $0$, de nagyon nagy értékeket is felvehet. A feladat az, hogy tudunk-e valamit mondani az $${{r(0)+r(1)+\cdots+r(n-1)}\over n}$$ átlagról?
• 6.18. probléma (ld. még 6.1, 6.5, 6.6; a könyv 269. oldalán): Van-e olyan $k$ és $K$ szám, hogy tetszőleges $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív számok esetén $$k\leq S={a\over{a+b+d}}+{b\over{a+b+c}}+ {c\over{b+c+d}}+{d\over{a+c+d}}\leq K.$$
• 6.20. probléma* (ld. még 6.1, 6.8, 6.14, 6.18; a könyv 270. oldalán): Az a feladatunk, hogy $\sqrt5$-öt határozzuk meg elég nagy pontossággal. Tekintsünk előbb egy közelítő értéket, legyen $a_1=2.$ Ekkor létezik olyan $b_1$, hogy $2+b_1=\sqrt5.$ Innen $b_1^2+4b_1-1=0,$ azaz $b_1=(-4\pm\sqrt{16+4})/2=-2\pm \sqrt5.$ \'Igy $b_1$-hez éppen a keresett $\sqrt5$-öt kellene megállapítani. Gondoljunk ezért arra, hogy közelítést végzünk, és abban bízunk, hogy nem követünk el nagy hibát. Vegyük figyelembe, hogy $|b_1|<1,$ ezért úgy érezzük, hogy $b_1^2$ \idez{kicsi}, hagyjuk el. Ekkor $b_1={1/4}.$ Legyen ezért $a_2=2,25.$ Ehhez van olyan $b_2,$ hogy $a_2+b_2=\sqrt5.$ Ismét négyzetre emelve és $b_2^2$-et elhagyva azt kapjuk, hogy $$b_2={{5-a_2^2}\over {2a_2}}=-{1\over{72}}.$$ Folytassuk ezt az eljárást!
• 6.22. probléma* (ld. még 6.12; a könyv 272. oldalán): Tegyük fel, hogy az $\{a_n\}$ sorozat elemei benne vannak a $(0,1)$ intervallumban. Anna úgy látja, hogy ha valaki az $n$-edik lépésben $a_n$ méter utat tesz meg, akkor bármilyen messze el tud jutni a kiinduló ponttól, ha elegendően sok lépést tesz meg. Domokostól $1$ méterre van egy megrakott asztal. Első lépésben Domokos $a_1\cdot1$ méter utat tesz meg, a második lépésben $a_2(1-a_1 \cdot1)$ utat, a harmadikban $a_3(1-d_2)$ utat, ahol $d_2$ jelenti a Domokos által első két lépésben megtett utat, és így tovább, az $n$-edik lépésben megtett út: $a_n(1-d_{n-1}),$ ahol $d_{n-1}$ jelenti a Domokos által az első $n-1$ lépésben megtett utat. Eljut-e Domokos az asztalhoz?
• 6.24. probléma** (a könyv 275. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$ olyan pozitív szám, hogy minden $p$ prímszám esetén $p^a$ egész szám, akkor $a$ is egész szám kell legyen.
• 6.28. probléma** (a könyv 283. oldalán): A $T$ téglalapot lefedtük véges sok téglalappal. A lefedő téglalapok nem nyúlnak egymásba, és nem nyúlnak ki $T$-ből. Mutassuk meg, hogy ha a lefedő téglalapok legalább egyik oldala egész szám, akkor $T$-nek is legalább egyik oldala egész szám.