Doktori kurzusok tematikái / Topics of doctoral courses

Testek multiplikatív csoportja. Permutációcsoportok (primitív és többszörösen tranzitív csoportok, koszorúszorzat, Frobenius csoportok). Szabad csoportok (részcsoportok, rang, definiáló relációk, Reidemeister-Schreirer elmélet). Feloldható csoportok. p-csoportok. Nilpotens csoportok. A transzfer. A Burnside-probléma. Mátrix-csoportok. Véges egyszerű csoportok. Részcsoporthálók.

Aschbacher: Finite Group Theory.

Hall, M. Jr.:The Theory of Groups.

Huppert: Endliche Gruppen.

Lyndon-Schupp: Combinatorial Group Theory.

Hálóelméleti alapfogalmak, dualitás, teljes hálók. Algebrai hálók, részalgebra hálók. Disztributív hálók: Birkhoff és Stone reprezentációs tétele, véges disztributív hálók szerkezete. Birkhoff és Dedekind kritériuma, a három elem által generált szabad moduláris és disztributív háló. Hálókongruenciák. Moduláris hálók: intervallumok, elemfelbontások. Geometriai hálók és komplementumos moduláris hálók. Projektív geometriák mint moduláris hálók. Hálóvarietások.

Czédli G.: Hálóelmélet

G. Grätzer: General Lattice Theory

Transzformációfélcsoport, szabad félcsoport. Ideál és Rees-kongruencia, félháló- és csoportkongruencia. Green-relációk, a D-osztályok szerkezete. Reguláris elem, inverzelem, reguláris D-osztályok. Egyszerű félcsoportok, főfaktorok, Rees tétele teljesen 0-egyszerű félcsoportokra. Teljesen reguláris félcsoportok, csoportok félhálói. Inverz félcsoportok, Wagner-Preston-féle reprezentáció, természetes rendezés. Fundamentális inverz félcsoportok, Munn-tétel. Kommutatív félcsoportok.

Grillet, P. A.: Semigroups: An Introduction to the Structure Theory, Marcel Dekker, 1995.

Howie, J. M.: Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, 1995.

Algebra, kifejezésfüggvény, polinomfüggvény. Részalgebra. Izomorfizmus, homomorfizmus, általános izomorfiatételek. Direkt szorzat, további szorzatfajták. Szubdirekt felbontás, Birkhoff tétele. Lezárási operátorok, lezárási rendszerek. Kongruenciaháló. Szabad algebra. Varietások. Birkhoff varietás-tétele, Birkhoff-féle teljességi tétel. Varietások ekvivalenciája. Azonosságokkal jellemezhető tulajdonságok varietásokon. Malcev és Pixley tétele. Magari tétele. Minimális varietások. Ultraszorzat, kongruenciadisztributív varietások. Primál algebra által generált varietások. Kváziprimál algebrák, diszkriminátorvarietások. Véges azonosságbázis létezésére vonatkozó tételek.

Burris–Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába.

McKenzie–McNulty–Taylor: Algebras, Lattices, Varieties.

G. Birkhoff: Generalized arithmetic, Duke Math. J. 9 (1942) 283-302. K. Bogart, R. Freese, J. Kung (szerk.): The Dilworth’s theorems, Birkhauser, 1990. D. Duffus, I. Rival: A structure theory for ordered sets, Discr. Math. 35 (1981), 53-118. W. T. Trotter: Combinatorics and Partially Ordered Sets: Dimension Theory, Johns Hopkins University Press, 1992. J. Valdes, R. E. Tarjan, E. L. Lawler: The recognition of series parallel digraphs, SIAM J. Comp. 11 (1982), 298-313.

továbbá válogatott cikkek az Order c. folyóiratból

Absztrakt klónok és műveletklónok. Galois-kapcsolatok. Relációklónok és műveletklónok kapcsolata, Baker–Pixley-tétel. Nevezetes teljességi tételek: általános Lagrange-interpoláció véges testekben, Werner–Wille-tétel, Sheffer–Webb-tétel, Slupecki-tétel, Salomaa-tétel. Véges halmazok klónhálói; Janov–Mucnik-tétel. Maximális klónok; Post-tétel. Rosenberg-tétel és néhány alkalmazása: McKenzie-tétel, a minta-függvények teljessége. Sheffer-függvények; Rousseau-tétel. Minimális klónok. Swierczkowski lemmája. Rosenberg típus-tétele. Primitív pozitiv klónok; Kuznyecov-tétel.

Csákány B.: Klónok (Függelék Burris–Sankappanavar Bevezetés az univerzális algebrába c. könyvéhez)

Pöschel–Kaluzsnyin: Funktionen- und Relationenalgebren

Szendrei Ágnes: Clones in Universal Algebra

Primál algebrák és általánosításaik. A primál algebrák Stone-Hu-féle dualitás-elmélete. A term-feltétel, kommutátorok, Abel-féle algebrák. McKenzie tétele kongruencia-fölcserélhető varietás szigorúan egyszerű algebráiról. Lokálisan véges varietások. Varietás spektruma. Relációklónok és szabad algebrák kapcsolata. Véges azonosságbázisú algebrák. Post és Lyndon tételei, a Lyndon-féle grupoid, a Murszkij-féle grupoid, örökletesen nem-végesbázisú algebrák. Pálfy-Pudlák-tétel, Pálfy tétele. Minimális algebrák, a szelíd kongruenciák elméletének elemei. elméletének elemei.

Burris–Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába

McKenzie–McNulty–Taylor: Algebras, Lattices, Varieties

Szendrei Ágnes: Clones in Universal Algebra

Hobby–McKenzie: The Structure of Finite Algebras

továbbá Baker–McNulty–Werner, Berman, McKenzie, Pálfy, Pudlák és mások válogatott cikkei

Algoritmikus bonyolultsági osztályok (P, NP, NP-teljes). A CSP-problémaosztály, a dichotómiasejtés. A homomorfizmusprobléma különböző megadásai (relációs struktúrákra, algebrákra, egyenletrendszerekre, varietásokra). Feder-Vardi féle redukciók. Schaefer dichotómiatétele. Speciális esetek (félháló, többségi függvény, és Maltsev művelet esetén). Gyönge többségi függvények. A Bang-Jensen és Hell sejtés bizonyítása. Korlátos szélességű problémák jellemzése. CSP és MMSNP kapcsolata.

Hell-Nesetril: Graphs and homomorphisms

továbbá Feder, Vardi, Bulatov, Jaevons, Dalmau, Kozik, Barto válogatott cikkei

Disztribuciók. Szoboljev terek. Disztribuciók Fourier-transzformációja. Parciális differenciálegyenletek fundamentális megoldásai. Parciális differenciáloperátorok. Klasszikus és általánosított megoldások. Hipoelliptikus differenciáloperátorok. Korrekt kitűzésű feladatok féltérben lineáris parciális differenciálegyenlet-rendszerre. Elliptikus, hiperbolikus, parabolikus parciális differenciálegyenletekre kitűzött peremérték- ill. vegyes feladatok egzisztencia-, unicitás-, stabilitásvizsgálata Szoboljev-terekben. 1. Absztrakt variációs problémák: bilineáris formák, kvadratikus funkcionálok minimalizálása, a Lax-Milgram tétel, Galjorkin approximáció 2. Disztribúciók és függvények 3. Szoboljev terek 4. Elliptikus problémák variációs formában 4.1. Elliptikus egyenletek 4.2. A Poisson egyenlet 4.3. Diffúzió 4.4. A Laplace operátor sajátértékei 4.5. Egyenletek divergencia alakban 5. Evolúciós egyenletek gyenge megoldásai 5.1. Parabolikus egyenletek 5.2. A hővezetés egyenlete: a Cauchy-Dirichlet probléma, Galjorkin approximáció, energia becslések, létezés és stabilitás

L.C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 1998. S. Salsa, F.M.G. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, A Primer on PDEs, Models, Methods, Simulations, Springer Verlag, 2013.

Invariáns sokaságok létezése, simasága. Viselkedés fixpont és periodikus pálya környezetében. Linearizálás. Orbitális stabilitás. Poincaré-leképezések. Átlagolás. Limeszhalmazok. Aszimptotikusan sima leképezések és félcsoportok. α-kontraktív félcsoportok. Invariáns halmazok stabilitása. Disszipativitás. Globális attraktorok. Fixpont tételek. Morse-Smale leképezések. A globális attraktor dimenziója. Periodikus folyamatok. Gradiens rendszerek. Példák: retardált differenciálegyenletek, neutrális differenciálegyenletek, parabolikus és hiperbolikus parciális differenciálegyenletek.

M. Hirsch and S. Smale, Differential Equations, Dynamic Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

J. Palis, W. DeMelo, Geometric Theory of Dynamical Systems: an Introduction, Springer- Verlag, 1982.

S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, 1990.

J. Guckenheimer and P.J. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, 1983.

J. Hale, L. Magalhaes, W. Oliva, An Introduction to Infinite Dimensional Dynamical Systems — Geometric Theory, Springer-Verlag, 1984.

J. Hale, Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, AMS, 1986.

D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer-Verlag, 1981.

M. Hirsch, C. Pugh, M. Shub, Invariant Manifolds, Springer-Verlag, 1977.

V. V. Nemytskii, V. V. Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations, Dover Publications, 1954.

H. L. Smith, Monotone Dynamical Systems, AMS, 1995.

R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer, 1997.

Differenciálegyenletek sokaságokon. Egzisztencia- és unicitástételek. Differenciálegyenletek végtelen dimenziós terekben. Lineáris rendszerek. Infinitezimális generátor. Integrálsokaságok. Linearizálás, Hartman–Grobman-tétel. Perturbációelmélet. Nem-autonóm rendszerek. Periodikus és majdnem periodikus egyenletek. A közepelés módszere. Peremértékproblémák. Sturm–Liouville-elmélet. Másodrendű egyenletek, oszcilláció. Határhalmazok, határciklusok. Poincaré–Bendixson-tétel. Stabilitás, Ljapunov-módszer. Invariancia-elv. Elsőrendű parciális differenciálegyenletek. Hamilton-Jacobi-elmélet.

H. Amann, Ordinary Differential Equations, DeGruyter, 1990.

V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1992.

J. K. Hale, Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, 1969.

D. V. Anosov, V. I. Arnold, Dynamical Systems I, Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1991.

C. Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications, Springer, 1999.

Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhäuser, 1982.

M. Hirsch, S. Smale, Differential Equations, Dynamic Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

M. A. Naimark, Linear Differential operators, Nauka, 1969 (in Russian).

V. V. Nemytskii, V. V. Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations, Dover Publications, 1954.

J. Palis, W. DeMelo, Geometric Theory of Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1982.

V. A. Pliss, Integral Manifolds of Periodic Systems of Differential Equations, Nauka, 1977 (in Russian).

A fázistér, trajektóriák és a megoldások absztrakt elmélete. Egzisztencia- és unicitás-tételek. A kezdeti adatoktól való folytonos függés. A közönséges egyenletek körében szokatlan jelenségek. A megoldások folytathatósága, kompaktsága. Lineáris funkcionál-differenciálegyenletek. Oszcillációs kérdések első és másodrendű egyenletekre. Stabilitás. Integro-differenciálegyenletek. Neutrális egyenletek. Autonóm egyenletek geometriai elmélete. Periodikus megoldások létezése. Biológiai, mechanikai és egyéb alkalmazások.

O. Diekmann, S. A. Van Gils, S. M. Verduyn Lunel, H.-O. Walter, Delay Equations, Springer, 1995.

J. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, 1977.

T. A. Burton, Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations, Academic Press, 1985.

G. Gripenberg, S.-O. Londen, O. Staffans, Volterra Integral and Functional Equations, Cambridge University Press, 1990.

I. Győri, G. Ladas, Oscillation Theory of Delay Differential Equations, Carendon Press, 1991.

Y. Hino, S. Murakami, T. Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, Springer-Verlag, 1991.

V. B. Kolmanovskii, V.R. Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Press, 1986.

T. Krisztin, H.-O. Walter, J. Wu, Shape, Smoothness and Invariant Stratification of an Attracting Set for Delayed Monotone Positive Feedback, AMS, 1999.

S. H. Saperstone, Semidynamical Systems in Infinite Dimensional Spaces, Springer-Verlag, 1981.

E. B. Becker, G. F. Carey and J. T. Oden, Finite Elements: An Introduction. Vol. I. , Prentice-Hall, 1981 Jeffery Cooper, Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB. Birkhauser, 1998. Peter J. Olver, Introduction to Partial Differential Equations, Springer, New York, 2014

A modellezési folyamat elemei. Matematikai modellek építése, vizsgálata, adatok és modellek illesztése. Diszkrét-folytonos, determinisztikus-sztochasztikus modellek. A matematikai és számítógépes eszközök áttekintése példákon keresztül: differenciál- és differenciaegyenletek, sejtautomaták vizsgálata; görbeillesztés; modellek diszkretizálása, linearizálása; minimumkeresés gradiens módszerrel. Rezgések: biológiai, mechanikai és elektromos oszcillátorok: lineáris, nem-lineáris rezgések, csillapítás. Kényszerrezgések, relaxációs oszcillátorok. Vezérlések: Impulzív rendszerek alkalmazásai, állapotfüggő és időkapcsolók. Alkalmazások, modellek az élettudományokból. Populációdinamikai fogalmak, egy fajra vonatkozó modellek. Folytonos és diszkrét modellek, korlátlan-korlátozott élettér, késleltetések megjelenése, térbeliség. Exponenciális, logisztikus növekedés, a Fibonacci sorozat szerepe a populációdinamikában. Több fajra vonatkozó modellek, kölcsönhatások: együttműködés, versengés, ragadozó-zsákmány modellek. Tér-idő modellek. Foltos élettér: áramlási modellek, rekeszrendszerek. Diffúzió: metapopulációk modellezése sejtautomatákkal, parciális differenciálegyenletekkel, mintázatok kialakulása. Járványok terjedése: fertőzés érintkezés útján, lappangási idő, nem fertőző időszakok, többfázisú megbetegedések (SIR, SEIR, stb. modellek), oltási (megelőzési, védelmi) stratégiák. Kémiai reakciók, gyógyszerek hatásának, kölcsönhatásának egyszerűbb modelljei.

Dreyer, T. P.: Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press, 1993, ISBN 9780849386367 Leah Edelstein-Keshet: Mathematical Models in Biology, SIAM, ISBN: 978-0-89871-554-5 Meerrschaert, M.M., Mathematical Modelling, Academic Press, 1999, ISBN: 9780123869128 Murray, D.J.: Mathematical Biology, Springer, 1997. ISBN 978-3-662-08542-4

Kétdimeziós autonóm rendszerek, a Poincaré-Bendixson tétel. Nyeregpont tulajdonság, invariáns sokaságok: stabil, instabil és centrális sokaság. Hartman-Grobman tétel. Stabilitáselmélet, Ljapunov-függvények. Periodikus megoldások stabilitása, Poincaré-leképezések, orbitális stabilitás. Strukturális stabilitás, generikus tulajdonságok. Elemi bifurkációk, bifurkációs görbék mehatározása biológiai és fizikai modellekben. Fázisképek osztályozása, Poincaré-normálforma. Attraktorok és típusai, medencék. Lagrange egyenletek, Hamilton vektormezők. Diszkrét dinamikai rendszerek. A körvonal leképzései, kvadratikus leképezések, periodikus pontok bifurkációi. Smale-féle patkó, szimbolikus dinamika és káosz. A Lorenz-féle meteorológiai modell.

M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Elsevier, 2004. L.C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 1998. S. Salsa, F.M.G. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, A Primer on PDEs, Models, Methods, Simulations, Springer Verlag, 2013.

Homotópia és szimpliciális komplexusok. Baricentrikus felbontás és a szimpliciális approximációs tétel. A fundamentális csoport és kiszámítási módjai. A 2-dimenziós triangulálható sokaságok osztályozása. Szinguláris homológiacsoportok és kiszámítási módjai: szimpliciális homológiák, egzakt sorozatok. Homológiák tetszőleges együtthatócsoporttal, a Lefschetz féle fixponttétel. Kohomológiacsoportok és kiszámítási módjaik. Alexader–Poincare dualitás. CW-komplexusok homotopiaelmélete. Whitehead tétele és a celluláris approximáció. CW-komplexusok homológia és kohomológia elmélete. Hurewitz tétele. Kohomológia szorzatok.

S. Eilenberg, N. Steenrod, Foundations of Algebraic Topology, Princeton, 1952.

E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw–Hill, New York, 1966.

C. R. F.Maunder, Algebraic Topology, Van Nostrand Reinold, London, 1970.

W. S. Massey, Singular Homology Theory, Springer, 1980.

Charatheodory, Radon, Helly tétel és ezek általánosításai, alkalmazásai. Politopok konstruálása, Gale transzformáltak. Euler reláció, Dehn–Sommerville egyenletek. Felső korlát a lapok számára. 3-politopok kombinatorikus típusai, a Steinitz tétel. Politopok vázának struktúrája, a van Kampen–Flores tétel. Az f-vektorok karakterizálása. Politopok összeadása és felbontása. Hamilton utak és körök politopokon. Szabályos politopok.

H. Hadwiger, H. Debrunner, V. Klee, Combinatorial Geometry in the Plane, Holt, Reinhardt and Winston, New York, 1964.

L. Danzer, B. Grünbaum, V. Klee, Helly’s theorem and its relatives, Proc. Symp. Pure Math., 7 (Convexity) (1963), 101 - 180.

B. Grünbaum, Convex Polytopes, John Wiley & Sons, London, 1967.

Konvex halmazok alapvető tulajdonságai, Charatheodory, Radon, Helly tételei. Szeparáció, Euler reláció, dualitás. Konvex halmazok approximációja, Blaschke kiválasztási tétele. Vegyes térfogat, Brünn–Minkowski tétel, Minkowski és Fenchel–Alexandrov egyenlőtlenség. Sűrűségek pontokra, egyenesekre, kinematikus sűrűség, síkbeli integrálformulák. Steiner formula, quermassintegrálok, Blaschke és Poincaré alapformulái. Görbületi integrálok és alkalmazásaik.

L.A. Santalo, Integral Geometry and Geometric Probability, Encyclopedia of Math., Addison–Wesley, London, 1976.

T. Bonnesen, W.Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Springer, Berlin, 1934.

W. Blaschke, Vorlesungen über Integralgeomtrie, Berlin, 1955.

H. Busemann, Convex surfaces, Interscience, London, 1958.

Konvex halmazok kombinatorikus tulajdonságai, Charatheodory, Radon, Helly tétel és ezek általánosításai, alkalmazásai. Konvex halmazok szeparálása, dualitás. Konvex halmazok approximációja, a Blaschke féle kivalasztási tétel. Műveletek konvex halmazokkal, vegyes térfogat. Izoperimetrikus tétel. Konstans szélességű konvex testek. Konvex testek értékelései. Zonoidok.

H. G. Eggleston, Convexity, Cambridge Univ. Press 47 (1958).

L. Danzer, B. Grünbaum, V. Klee, Helly’s theorem and its relatives, Proc. Symp. Pure Math., 7 (Convexity) (1963), 101–180.

B. Grünbaum, Convex Polytopes, John Wiley & Sons, London, 1967.

P. M. Gruber, J. M. Wills, Convexity and its applications, Birkhäuser, 1983.

Konvex testek és határuk. Dualitás. Minkowski-összeg, zonoidok. Külső és belső paralel halmazok, görbületi mértékek, quermassintegrálok. Vegyes térfogat, értékelések. Egyenlőtlenségek, Brunn-Minkowski tétel, Minkowski-egyenlőtlenség, izoperimetrikus tétel, Aleksadrov-Fenchel egyenlőtlenség. Minkowski-tétel. Kovariogram, különbség test, Steiner-szimmetrizáció.

P.M. Gruber: Convex and discrete geometry, Springer, 2007. ISBN: 978–3-540-71132-2 R. Schneider: Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, 2013 (2nd ed.). ISBN: 978-1-139-00385-8 Szabó L.: Bevezetés a konvex geometriába, ELTE jegyzet (2018).

Blokkrendszerek: Blokkrendszerek paraméterei és oszthatósági feltételek. Steiner-rendszerek. Hadamard-mátrixok. Feloldható blokkrendszerek. Baranyai-tétel. Véges projektív geometriák: Latinnégyzetek. Véges projektív geometriák paraméterei. Desargues- és Pappos-síkok. Desargues- és Pappos-síkok koordinátázhatósága. Véges affin síkok. Véges tükrözési csoportok. Coxeter-csoportok és komplexusok. Épületek.

M. Jr. Hall, Combinatorial theory, Waltham, Mass. 1967.

Kiss György, Szőnyi Tamás: Véges geometriák, Polygon Könyvtár, Szeged, 2001.

Hajnal Péter: Halmazrendszerek, Polygon Jegyzettár, Szeged, 2002.

Brown, Buildings, Springer-Verlag, London, 1989.

Véletlen zárt halmazok, véletlen mértékek és pontfolyamatok, Poisson pontfolyamatok, Palm eloszlások, véletlen pontok konvex burka, politópok véletlen vetületei, extremális problémák valószínuségre és várható értékre, konvex testek közelítése véletlen politópokkal, sapkafedési tétel és alkalmazásai, centrális határeloszlástételek véletlen politópokra.

Ajánlott irodalom:

R. Schneider, W. Weil, Stochastic and Integral Geometry, Probability and Its Applications, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2008.

Baddeley, A.; Bárány, I.; Schneider, R.; Weil, W. Stochastic geometry. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, September 13–18, 2004. With additional contributions by D. Hug, V. Capasso and E. Villa. Edited by W. Weil. Lecture Notes in Mathematics, 1892. Springer-Verlag, Berlin, 2007.

Santaló, Luis A. Integral geometry and geometric probability. Second edition. With a foreword by Mark Kac. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

A kurzus elsődleges célja, hogy bemutassa a geometria legújabb eredményeit, valamint az ezek megértéséhez szükséges speciális háttérismereteket. A tárgy során a modern geometria olyan témaköreit tárgyaljuk, amelyek napjainkban a terület fejlődésének középpontjában állnak, vagy egy-egy aktuális kutatási irányhoz kapcsolódnak. Ilyenek lehetnek például a magas dimenziós jelenségek, a konvex geometria és a funkcionálanalízis határterületeinek egyes kérdései, a sztochasztikus geometria és a valószínűségelmélet metszéspontjában megjelenő problémák, illetve a diszkrét geometriában előtérbe kerülő kutatási témák.

Fokszám-sorozatok és realizálhatóság, Havel-Hakimi tétele. Fák és összeszámlálásuk, rekurziók, kombinatorikus módszerek, Kirchoff-formula. Gráfok színezése, Hajós nem-színezhetőségi bizonyítási sémája. Gráfok nagy derékbőséggel és nagy kromatikus számmal. Élszínezések, Viking-tétel. Párosítások gráfokban, algoritmusok és minimax tételek, Tutle tétele, Erdős-Simonovits-tétel, C_4 kizárása, nyilt problémák. Ramsey tétele gráfokra, általánosítások, alkalmazások, sűrűségi tételek. Gráfok sajátértékei és alkalmazásai.

B. Bollobas, Modern graph theory, Graduate Text sin Mathematics, Springer, Berlin, 1998, ISBN 0-387-98488-7 R. Diestel, Graph theory, 4th edition, Graduate Text sin Mathematics, Springer, Berlin, 2010, ISBN 978-3-662-53621-6

Mantel tétel, Turán tétel, Erdős-Stone-Simonovits tétel, Zarankiewicz probléma, maximális élszámú gráfok, amik nem tartalmaznak adott méretű teljes részgráfot/teljes páros részgráfot. Általánosabb Turán típusú kérdések egyéb kizárt gráfok (pl.: fák, körök) esetén, illetve hipergráfokon. Pánciklikus gráfok, Bondy tétel, Moon-Moser egyenlőtlenségek. Szaturálási kérdések, Kászonyi-Tuza tétel. Ramsey tétel, Ramsey típusú kérdések gráfokon. Szemerédi regularitási lemma változatai, elhagyási lemma, számlálási lemma, beágyazási lemma és ezek alkalmazásai, Roth tétele. Pszeudo-véletlen gráfok, Chung-Graham-Wilson tétel. További nevezetes módszerek extremális kérdésekkel kapcsolatban: Véletlen módszer néhány alkalmazása, Lovász lokál lemma. Kombinatorikus nullhelytétel és néhány alkalmazása. A Kneser sejtés bizonyítása topologikus eszközökkel (Borsuk-Ulam tétel).

Béla Bollobás: Modern Graph Theory. Springer Graduate Texts in Mathematics. Springer; 1998. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0619-4 Stasys Jukna: Extremal Combinatorics with applications in computer science, Springer; 2011. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-17364-6 Tibor Szabó: Extremal Graph Theory with emphasis on constructions, https://page.mi.fu-berlin.de/szabo/PDF/notes.pdf Noga Alon, Joel H. Spencer: The probabilistic method, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, Wiley; 1991. https://www.amazon.com/Probabilistic-Method-Noga-Alon/dp/0470170204

A kriptográfia alapfogalmai. Támadások. Az AES-128 szimmetrikus kulcsú titkosítás, visszafejtése és kulcskifejtése. Lineáris S-doboz kriptanalízise. Boole-függvények nemlinearitésa és Walsh-Hadamard transzformáltja. Hajlított függvények jellemzése. Differenciális egyenletesség, APN függvények. Lineáris rekurziók. Visszacsatolásos léptetőszámlálók. Maximális periódusú LFSR-ek. Az RSA nyilvános kulcsú titkosítás: algoritmus, kulcsgenerálás, kódolás, dekódolás, a dekódolás bizonyítása. Prímgenerálás. Támadások az RSA ellen. Kulcs menedzsment a Diffie-Hellman elven. Véges test feletti elliptikus görbék. Elliptikus görbéket használó kriptográfiai eljárások. Diszkrét logaritmus probléma. Gráf izomorfizmus problémán alapuló zéró-ismeret bizonyítás. A Fiat-Shamir zéró-ismeret bizonyítás. A hibajavító kódolás alapfogalmai. A Reed–Solomon-kód és dekódolása. Bináris Goppa-kódok, paraméterek, dekódolás. Kvantumrezisztens kód-alapú kriptográfia: a McEliece-séma.

Alko R. Meijer: Algebra for Cryptologists. Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology. Springer Cham; 2016. https://doi.org/10.1007/978-3-319-30396-3 Claude Carlet: Boolean Functions for Cryptography and Coding Theory. Cambridge: Cambridge University Press; 2021. https://doi.org/10.1017/978110860680

Döntési fák, zárkózott függvények, alsó becslések. Kommunikációs bonyolultság, mátrixok parkettázása és a rang alsó becslés. Elágazó programok, korlátos szélesség és Barrington tétele. Formulák Khrapchenko és Subbotovszkaja tételei, monotonitás és alsó becslések. Hálózatok, monotonitás és Razborov tétele. Switching lemma. Smolensky tétele.

S. Jukna, Boolean fuction complexity, Advances and frontiers, Algorithms and Combinatorics, 27. Springer, Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-24507-7. I. Wegener, The complexity of Boolean fuctions, Wiley-Teubner Series in Computer Science, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester; B.G. Teubner, Stuttgart, 1987. ISBN 0-471-91555-6.

Formális hatványsorok gyűrűje. Permutációk őrnagy indexe, véges vektor terek altereinek száma, kombinatorikus azonosságok q-analógjai. Egész számok partíciói, Jacobi formulák, Ramanujan–Rodgers-azonosság. Möbius függvény kiszámítási módszerei, hálók, Euler részben rendezett halmazok. Aszimptotikus formulák. Részben rendezett halmazok kiterjesztéseinek száma, vegyes térfogat, log-konkáv sorozatok, részben rendezett halmazok dimenziója. Jeu-de-taquin, tablók, szimmetrikus függvények, Hopf-algebrák.

Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics Vol. 1., Corrected reprint of the 1986 original, Cambridge Studies in Advanced Mathematics vol. 49., Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics. Vol. 2., Cambridge Studies in Advanced Mathematics vol. 62., Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

Véletlen módszer lényege, Ramsey számok, hipergráfok 2-színezése, diszkrepancia. Második momentum módszer, martingálok, Lovász-lemma, pszeudo véletlen módszerek, valószínűségszámítási becslések. Példák alkalmazásokra. Véletlen gráfok különböző modelljei. Threshold-függvények. Véletlen gráfok evolúciója. Véletlen Turing gépek. Véletlen bonyolultsági osztályok: BPP, RP, PP. Prímtesztelés. Polinom azonosságok ellenőrzése. Véletlen párhuzamos algoritmus teljes párosítás létezésének eldöntésére. Véletlen párhuzamos algoritmus maximális független halmaz keresésére. Véletlen séták gráfokon. s − t összefüggőség. Térfogatmérés.

Noga Alon and Joel H. Spencer, The probabilistic method, Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1992.

Béla Bollobás, Modern graph theory, Graduate Texts in Mathematics vol. 184., Springer- Verlag, New York, 1998.

Lovász László, Algoritmusok bonyolultsága, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991.

Véges testek konstrukciója, additív és multiplikatív csoportjaik. Véges test feletti affin és projektív síkok. Véges síkok, blokkrendszerek, illeszkedési struktúrák, incidenciamátrix. Véges síkok rendje, kombinatorikus tulajdonságaik. Automorfizmusok, izomorfizmusok, kollineációk. Projektív lineáris transzformációk. Kúpszeletek osztályozása a véges projektív síkon. Ívek, Bose és Segre tételei. A hibajavító kódok működési sémája. Lineáris kódok, Hamming-távolság, hossz, dimenzió, minimum távolság. Gömbpakolási és Singleton-korlát. Perfekt kódok, MDS kódok. Hamming-kód, Reed-Solomon kód. Dekódolási eljárások. MDS kódok és ívek kapcsolata, Segre-sejtés. Elliptikus görbéket használó kriptográfiai eljárások. APN függvények és alkalmazásuk a kriptográfiában.

Kiss Gy., Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon 2001.

J. H. van Lint: Introduction to coding theory. Springer 1998.

J.W.P. Hirshfeld: Projetive Geometries Over Finite Fields. Oxford University Press, 1997.

C. Carlet: Boolean Functions for Cryptography and Coding Theory. Cambridge University Press, 2021.

A modern gráfelméletnek mély és gyümölcsöző kapcsolatai vannak a matematika más területeivel, mint például a számelmélettel, algebrával, geometriával, valószínűségszámítással, számítógéptudománnyal és analízissel. Sőt, még más természettudományos területeken, mint például a biológia és a kémia is előfordulhatnak olyan problémák, amelyeket gráfelméleti módszerekkel lehet megoldani. Ennek a kurzusnak a célja, hogy bemutassa a hallgatóknak az alapvető tételeket és módszereket, megismertesse őket a legújabb kutatási témákkal és néhány fontos alkalmazással. Például a gráf és hipergráf regularitás különböző formái és alkalmazásuk, véletlen gráfok, expanderek, extremális problémák megoldásai. Egy másik példa a szubmoduláris függvények alkalmazása több kombinatorikus optimalizációs problémában és azok kapcsolata a matroidokkal.

Mértéktér, mérhető függvények. Az integrál definíciója, konvergencia-tételek. Mérték kiterjesztése félalgebráról a generált σ-algebrára. Mértékek megadása Rn-en, a Lebesgue-mérték. A Riemann- és a Lebesgue-integrál kapcsolata. Mértékterek szorzata, a Fubini tétel. Borel mértékek regularitása. Luzin és Jegorov tételei. A Hölder- és a Minkowski-egyenlőtlenségek. Az Lp(μ) függvényterek, a Banach-tér és a Hilbert-tér fogalma. Altér ortogonális komplementere, Hilbert-tér duálisa. Komplex mértékek, teljes változás. Mértékek Lebesgue-féle felbontása, a Radon–Nikodym-tétel. Polár-felbontás, Hahn-felbontás. Komplex Borel-mértékek megadása az egyenesen, korlátos változású függvények.

Kérchy László: Valós- és funkcionálanalízis, Polygon, Szeged, 2008.

W. Rudin: Real and complex analysis

Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok

Mittag-Leffler tétele meromorf függvények parciális törtekre bontásáról, a cotg πz felbontása. Weierstrass tétele egész függvények szorzat-előállításáról, a sin πz felbontása. A gamma-függvény. Racionális törtfüggvényekkel való approximáció, Runge tétele. A nyílt egységkörlapon analitikus függvények Hardy-féle Hp terei. Határértékek a körvonalon, Fatou tétele. Riesz Frigyes és Marcell tétele, Szegő tétele. Blaschke-szorzatok, belső és külső függvények, faktorizáció. A zárt egységkörlapon folytonos és a nyílt egységkörlapon analitikus függvények Banach algebrája. Az eltolás-operátor invariáns alterei a H2 Hilbert térben.

Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok

K. Hoffmann: Banach spaces of analytic functions

W. Rudin: Real and complex analysis

Ortonormált rendszerek Hilbert terekben, Hilbert tér dimenziója. Fourier sorok konvergenciája, Cesaro és Abel összegzés. A Hahn-Banach tétel és alkalmazásai, Banach limesz, Banach integrál és mérték. A Banach-Steinhaus tétel, a nyílt leképezések tétele és a zárt gráf tétel; alkalmazásaik Fourier sorokra. Az Lp terek duálisai, reflexivitás. A folytonos függvények terének duálisa, Riesz reprezentáció tétele. A Weierstrass-Stone approximáció tétel.

Kérchy László: Valós- és funkcionálanalízis, Polygon, Szeged, 2008.

F. Riesz–B. Szőkefalvi-Nagy: Functional analysis

W. Rudin: Real and complex analysis

Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok

Ortonormált bázis Hilbert terekben, az altérháló. Eltolás-, szorzás- és integrál-operátorok. Adjungálás, normális operátorok, ortogonális projekciók. A kompakt operátorok ideálja. Banach algebra elemének spektruma, spektrálsugár, a Riesz-Dunford kalkulus. Térbeli spektrum-fogalmak, kompakt operátor spektruma. Kommutatív Banach algebrák, Gelfand transzformáció, a Gelfand-Naimark tétel. Operátor-topológiák, önadjungált operátorok monoton sorozatai. Spektrálmérték, spektráltétel. Függvény-kalkulus és függvénymodell normális operátorokra. Neumann bikommutáns tétele, kommutatív Neumann algebrák. Kompakt operátor invariáns alterei, Lomonoszov tétele.

Kérchy László: Hilbert terek operátorai, Polygon, Szeged, 2003

A kurzus célja, hogy a funkcionálanalízis kiterjedt és szerteágazó tudományterületébe komolyabb és mélyebb bepillantást nyújtson az előadó és a hallgatói igények szerinti témaválasztással. Javasolt témák:

Approximáció pozitív operátorokkal, Korovkin tétele. Weierstrass és Weierstrass–Stone tétel. Folytonossági és simasági modulusok, Jackson tétel, direkt tételek. Deriváltak becslése, Bernstein tétel és az approximációelmélet inverz tételei. Legjobban közelítő polinomok jellemzése, extrémális szignatúrák. Lp-approximáció. Bernstein polinomok naturációja, parabola módszer.

G. G. Lorentz: Approximation of functions

G. G. Lorentz–R. DeVore: Approximation theory

Logaritmikus potenciálok; szuperharmonikus függvények; Riesz reprezentációs tétel; elvek; egyensúlyi mértékek és potenciálok; potenciálok külső térben; Riesz potenciálok; alkalmazások.

T. Ransford: Potentials Theory on the Complex Plane

E. B. Saff-V. Totik: Logarithmic Potentials with External Fields

A trigonometrikus rendszer teljessége. Bessel egyenlőtlenség, Parseval formula. Fourier sorok konvergenciája: Riemann-Lebesgue lemma, Dini tétele, lokalizációs elv, Dirichlet-Jordan tétel, Lebesgue állandók. Fourier sorok szummálhatósága: Fejér tétele és következményei, Lebesgue tétele, integrálható függvény Lebesgue pontjai. Fourier sorok divergenciája: Fejér és Kolmogorov példái. Speciális trigonometrikus sorok, amelyeknek együtthatói monoton konvergálnak zérushoz.

A. Zygmund: Trigonometric series

Fourier sorok abszolút konvergenciája: Bernstein és Zygmund tételei, Wiener és Lévy tételei. A konjugált függvény egzisztenciája, Abel-Poisson közepek. A konjugált sor Fourier karaktere, Fourier sor és konjugált sor konvergenciája L1-normában. Riesz-Thorin interpolációs tétel, Hausdorff-Young és Riesz Frigyes tételei. Marcinkiewicz interpolációs tétele, Paley tétele Fourier együtthatókról. Többszörös Fourier sorok szummálhatósága.

A. Zygmund: Trigonometric series

Véletlen változók és vektorváltozók, eloszlásfüggvény. Véletlen változók függetlensége, Kolmogorov 0-1 törvény, Borel-Cantelli-lemmák. Várható érték. Karakterisztikus függvény. Eloszlásbeli konvergencia, folytonossági tétel, portmanteau tétel. Többdimenziós normális eloszlás. Konvergenciatípusok. Kolmogorov-egyenlőtlenség. Nagy számok törvényei. Centrális határeloszlás-tétel. Feltételes várható érték. Martingálok diszkrét időben, martingál konvergenciatétel.

K. B. Athreya, S. N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory, 2006, Springer. ISBN-13: 9780387329031 P. Billingsley: Probability and Measure, 3rd edition, 1995, John Wiley & Sons, New York. ISBN-13: 978-8126517718 R. B. Ash: Probability and Measure Theory, 2nd edition, 2000, Academic Press. ISBN-13: 9780120652020 W. Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd edition, 1968, Wiley. ISBN-13:‏ 9780471257080 A. Klenke: Probability Theory, 3rd edition, 2020, Springer. ISBN-13: 978-3030564018 A. N. Shiryaev: Probability-1, 3rd edition, 2016, Springer. ISBN-13: 978-1493979059 A. N. Shiryaev: Probability-2, 3rd edition, 2019, Springer. ISBN-13: 978-1071618295

Kolmogorov konzisztencia tétele. Martingálok diszkrét és folytonos időben, Doob-Meyer-felbontás, opcionális megállási tétel, Doob-féle maximál-egyenlőtlenség, martingál konvergenciatétel. Gauss-folyamatok, Wiener-folyamat. Ito-féle sztochasztikus integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek, diffúziós folyamatok. Markov-folyamatok általános definíciója és átmenetvalószínűségei, Chapman-Kolmogorov-egyenletek. Kolmogorov előre- és visszafelé haladó egyenletei. R. Durrett. Probability: theory and examples, volume 31 of Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, fourth edition, 2010. ISBN 0521765390 I. Karatzas and S.E. Shreve. Brownian motion and stochastic calculus, volume 113 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1991. ISBN 0387976558 L. Breiman. Probability. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1968. ISBN 0898712963 J.L. Doob. Stochastic processes. Reprint of the 1953 original. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990. ISBN 9780471523697

Tőzsdei termékek. Portfólió, stratégia, önfinanszírozás, fedezet. Ekvivalens martingálmérték, arbitrázsmentesség és teljesség diszkrét idejű piacokon. Exponenciális Brown-mozgás és Girsanov tétele. Black-Scholes-modell és Black-Scholes-formula. Kamatlábmodellek. Felújítási folyamatok és Poisson-folyamat, elemi felújítási tétel. Kockázati folyamatok és klasszikus rizikófolyamat. Lundberg-kitevő és Cramér-Lundberg-tétel.

R.J. Elliott and P.E. Kopp. Mathematics of financial markets. Springer Finance. Springer-Verlag, New York, second edition, 2005. ISBN 0387212922 S. Asmussen and M. Steffensen. Risk and insurance - a graduate text, volume 96 of Probability Theory and Stochastic Modelling. Springer, Cham, 2020. ISBN 3030351750 I. Karatzas and S. E. Shreve. Brownian motion and stochastic calculus, volume 113 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1991. ISBN 0387976558 A.N. Shiryaev. Essentials of stochastic finance, volume 3 of Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1999. ISBN 9810236050

Idősorok trendelemzése. ARMA és ARIMA folyamat. Autokorrelációs és parciális autokorrelációs függvény. Durbin-Levinson-algoritmus. Paraméterbecslés Yule-Walker- és maximum likelihood módszerrel. Idősorok előrejelzése. Állapottérmodellek és Kálmán-szűrő. Pénzügyi idősorok modellezése ARCH és GARCH folyamatokkal. Gyengén stacionárius folyamatok (speciálisan ARMA folyamatok) spektrális reprezentációja és előrejelzése a frekvenciatartományban. Spektrálanalízis.

Brockwell, Davis: Time Series: Theory and Methods, Springer, 2006, ISBN 1441903194. Brockwell, Davis: Introduction to Time Series and Forecasting, Springer, 2010, ISBN 0387953515. Cryer, Chan: Time Series Analysis with Applications in R, Springer, 2010, ISBN 0387759581. Tsay: An Introduction to Analysis of Financial Data with R, Wiley, 2012, ISBN 0470890819.

Rendezett minták elmélete. Elégségesség, teljesség, exponenciális eloszláscsalád. Fisher-információ, Cramér-Rao-egyenlőtlenség, Rao-Blackwell-Kolmogorov-tétel. Neyman-Pearson-alaplemma. Wald-féle valószínűséghányados próba. Wishart-sűrűség. Paraméterbecslés és hipotézisvizsgálat többdimenziós normális modellben. Lineáris módszerek. Kontingenciatáblák elemzése, osztályozási módszerek. Algoritmikus modellek.

Borovkov: Mathematical statistics. Gordon and Breach, Amsterdam, 1998, ISBN 0471979139. Rao: Linear statistical interference and its applications, New York, Wileg, 1973, ISBN 0471708232.

A diszkrét idejű Markov-láncok fogalma és átmenetvalószínűségei, a Markov-tulajdonság ekvivalens definíciói. Többlépéses átmenetvalószínűségek, Chapman–Kolmogorov-egyenletek. Időhomogén Markov-láncok kommunikációs osztályai, az állapotok periódusa. Az erős Markov-tulajdonság, visszatérési idők, az állapotok típusa. Stacionárius eloszlás és ergodicitás. Folytonos idejű időhomogén Markov-láncok: definíció, átmenetvalószínűségek, Chapman–Kolmogorov-egyenletek. Az infinitezimális generátor és Kolmogorov egyenletei. Az állapotváltozások dinamikája. A születési-halálozási folyamat és tömegkiszolgálási modellek.

Norris: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Karlin, Taylor: A first course in stochastic processes. Academic Press, New York, 1975.

Feller: An introduction to probability theory and its applications. Vol. I. John Wiley & Sons, New York, 1968.

Generátorfüggvények, a Galton–Watson-folyamat és a kihalási tétel. Többtípusos elágazó folyamatok várható érték mátrixa, a folyamat aszimptotikus viselkedése szubkritikus, kritikus és szuperkritikus esetben. Folytonos idejű és kortól függő folyamatok. Biológiai alkalmazások.

Athreya, Ney: Branching processes. Springer-Verlag, New York, 1972.

Kimmel, Axelrod: Branching processes in biology. Springer-Verlag, New York, 2002.

A kurzus a valószínűségszámítás, a sztochasztikus folyamatok vagy a statisztika egy kiválasztott, haladó témáját dolgozza fel részletesen. A lehetséges témák – a teljesség igénye nélkül – a következők: Valószínűségi mértékek konvergenciája (C- és D-terek, feszesség, Prohorov-tétel); Folytonos idejű elágazó folyamatok (konstrukció határértékként, többtípusú elágazó folyamatok, kapcsolat sztochasztikus differenciálegyenletekkel); Lévy-folyamatok (Lévy–Hincsin-formula, Lévy–Itô-felbontás, szubordinátorok); Nehéz farkú jelenségek (reguláris változású függvények, nehéz farkú véletlen változók és határeloszlás-tételek, nehéz farkú idősorok, paraméterbecslés); Véletlen mértékek és ambit folyamatok (Lévy-bázis, Lévy-bázis szerinti integrálás, ambit folymatok); Sztochasztikus kalkulus és sztochasztikus differenciálegyenletek (Itô-kalkulus, martingálreprezentáció, sztochasztikus integrálás szemimartingál szerint, SDE-k gyenge és erős megoldásai); Markov-folyamatok (generátorok és félcsoportok, lokális idők, kiránduláselmélet).

Probléma a matematikában, különféle értelmezések. A problémamegoldási folyamat modelljei: Pólya heurisztikus modellje, Schoenfeld heurisztikus modellje, Mason modellje. A problémamegoldás sémája; általános és speciális heurisztikák, ezek bemutatása konkrét problémákon keresztül. A problémamegoldási képességek fejlesztésének alapfeltételei Wittmann szerint. Problémamegoldási stratégiák, heurisztikus elvek, kontrollmódszerek.

Pólya György: A gondolkodás iskolája

Pólya György: A problémamegoldás iskolája I-II.

Pólya György: A matematikai gondolkodás művészete I-II. (Indukció és analógia; A plauzibilis következtetés)

Alan H. Schoenfeld: Mathematical Problem Solving

Alan H. Schoenfeld (ed.): Mathematical Thinking and Problem Solving

Erich Ch. Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts

Arthur Engel: Problem-Solving Strategies

Loren C. Larson: Problem-Solving Through Problems

Ambrus András: Bevezetés a matematikadidaktikába

A kurzus elsődleges célja a matematikai didaktika alprogram hallgatóinak bemutatni a didaktikai kutatásokhoz szükséges módszertani és statisztikai alapjokat. Kutatásmódszertani alapok (kvalitatív és kvantitatív kutatás típusai, módszerei, kutatás tervezése, kérdőív készítése). Az adatgyűjtés módszerei. Statisztikai alapfogalmak, becslések (pontbecslések, konfidencia intervallumok), paraméteres és nemparaméteres próbák. Többváltozós módszerek (lineáris regresszió, egy- és kétszempontos varianciaanalízis, főkomponensanalízis, faktoranalízis, diszkriminanciaanalízis, logisztikus regresszió, klaszteranalízis). Újramintavételezés, hiányzó adatok kezelése (EM algoritmus). Statisztikai szoftverek használata.

Baran és mtsai (szerk): Bevezetés a matematikai statisztikába, Debreceni Egyetemi Kiadó, 2009

Bolla Marianna, Krámli András: Statisztikai következtetések elmélete, Typotex, Budapest, 2012

Csíkos Csaba: Pedagógiai kísérletek kutatásmódszertana, Kutatás-módszertani Kiskönyvtár, Gondolat Kiadó, 2012

Falus Iván (szerk): Bevezetés a pedagógiai kutatás módszereibe, Műszaki Könyvkiadó, Bp, 2014

Kontra József: A pedagógiai kutatások módszertana, egyetemi jegyzet, Kaposvári egyetem, 2011 Rudas Tamás: Közvélemény-kutatás: értelmezés es kritika, Corvina, 2006

A deduktív matematika kialakulása, a hellén kor matematikája. Az iszlám kultúrák matematikája. A reneszánsz kor európai matematikája. A magasabbfokú egyenletek megoldása, ill. megoldhatósága Mezopotámiától Galois-ig.

Boyer: A History of Mathematics

Corry: Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures

Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times https://www.wolframalpha.com/ Rashed: The Development of Arabic Mathematics

Van der Waerden: Egy tudomány ébredése

válogatott matematikatörténeti cikkek

Gyakorló matematikatanárok számára az kurzus tematikája lefedi a kombinatorika módszertani alapjait, ugyanakkor konkrét matematikai problémákra és megoldási stratégiákra fókuszál, és fejleszti a tanítási kompetenciákat.

Módszertani elemek:

A kurzus fő célja a GeoGebra (https://www.geogebra.org/), a SageMath (https://www.sagemath.org/) és a Mathematica (https://www.wolframalpha.com/) programok oktatási célú lehetőségeinek megismerése.

A programok alapfunkciói. Geometriai objektumok kezelése az euklideszi, a hiperbolikus és az elliptikus síkon. Szerkesztési feladatok interaktív megoldása a GeoGebra programmal. Mértani helyek animációs kirajzolása. Interaktív feladatsorok összeállítása, tesztelése, elhelyezése a web-en.

Betűs kifejezések, formalizálás. A klasszikus algebra elemeinek tanítási lehetőségei. Egyenletek, egyenietrendszerek tanítása. A lineáris algebra alapjainak tanítása induktív módon. Algebrai struktúrák bevezetése példákon keresztül; analógia, általánosítás és absztrakció. Felfedeztetés a számelméletben; konkrét példák, általános sejtés, a sejtés bizonyítása. Az euklideszi geometria tanítása induktív és deduktív módon. A nemeuklideszi geometriák tanítási lehetőségei a középfokú oktatásban. Egyszerű összeszámlálási problémák elemi megoldásától a formális hatványsorok alkalmazásáig. Gráfelméleti fogalmak és tételek tanítása konkrét példákon keresztül.

Az analízis (kalkulus) alapvető fogalmainak (határérték, folytonosság, differenciálhányados, integrál) előkészítése a középiskolában; a fogalmak bevezetésének lehetséges útjai: induktív, deduktív és konstruktív út. Az analízis elemeinek alkalmazásai a hétköznapi életben és a matematika más területein. Leíró statisztika és a hétköznapi élet. Statisztikai adatok megjelenítése, kapcsolódó fogalmak tanítása. Valószínűségi kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság. Statisztikai mérőszámok és tulajdonságaik; adatsokaság várható értéke és szórása. A valószínűség fogalmának kialakítása. A valószínűségi változó fogalmának kialakítása konkrét példákon keresztül. Diszkrét valószínűségi változók; eloszlásuk, várható értékük, szórásuk. A nagy számok törvényének tanítási lehetőségei.

Ambrus András: Bevezetés a matematikadidaktikába

Fried Ervin: Absztrakt algebra - elemi úton

Dienes Zoltán: Építsükfel a matematikát

Gyapjas Ferenc: A kombinatorika és valószínűségszámítás tanításának módszertani problémái

Pólya György: A gondolkodás iskolája

Pólya György: Indukció és analógia

Hans Freudenthal: Mathematics as an Educational Task Hans Freudenthal: Weeding and Sowing

Courant-Robbins: Mi a matematika?

Rényi Alfréd: Ars mathematica

Pintér Lajos: Analízis I-II.

Robert M. Young: Excursions in Calculus - An Interplay of the Continuous and the Discrete

Nemetz Tibor-Wintsche Gergely: Valószínűségszámítás és statisztika mindenkinek

Alan H. Schoenfeld: Mathematical Thinking and Problem Solving

Multiplicative groups of fields. Permutation groups (primitive and multiply transitive groups, wreath product, Frobenius groups). Free groups (subgroups, rank, defining relations, Reidemeister-Schreirer theory). Solvable groups. p-groups. Nilpotent groups. The transfer. The Burnside problem. Matrix groups. Finite simple groups. Subgroup lattices.

Aschbacher: Finite Group Theory.

M. Jr. Hall:The Theory of Groups.

Huppert: Endliche Gruppen.

Lyndon-Schupp: Combinatorial Group Theory.

Basic concepts in lattice theory, duality, complete lattices. Algebraic lattices, subalgebra lattices. Distributive lattices: Birkhoff and Stone’s theorems, the structure of finite distributive lattices. Birkhoff’ criterion, Dedekind’s criterion. Free modular and distributive lattices on three generators. Congruences of lattices. Modular lattices: decomposition of intervals and elements. Geometric lattices and complemented modular lattices. Projective geometries as modular lattices. Varieties of lattices.

Czédli G.: Lattice Theory (in Hungarian)

G. Grätzer: General Lattice Theory

Transformation semigroup, free semigroup. Ideal and Rees congruence, semilattice and group congruences. Green relations, the structure of D-classes. Regular element, inverse of an element, regular D-classes. Simple semigroups, principal factors, the Rees theorem on completely 0-simple semigroups. Completely regular semigroups, semilattices of groups. Inverse semigroups, the Wagner-Preston representation, natural partial order. Fundamental inverse semigroups, the Munn representation. Commutative semigroups.

Grillet, P. A.: Semigroups: An Introduction to the Structure Theory, Marcel Dekker, 1995.

Howie, J. M.: Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, 1995.

Algebras, terms, polynomials. Subalgebra. Isomorphism, homomorphism, general isomorphism theorems. Direct product and other types of product. Subdirect decomposition, Birkhoff’s theorem. Closure operators, closure systems. Congruence lattice. Free algebra. Varieties. Birkhoff’s theorem for varieties, Birkhoff’s completeness theorem. Equivalence of varieties. Properties characterized by identities for varieties. The theorems of Malcev and Pixley. Magari’s theorem. Minimal varieties. Ultraproduct, congruence distributive varieties. Varieties generated by primal algebras. Quasi-primal algebras, discriminator varieties. Finite basis theorems.

Burris–Sankappanavar: A Course in Universal Algebra.

McKenzie–McNulty–Taylor: Algebras, Lattices, Varieties.

Series-parallel posets. Dilworth’s chain decomposition theorem. Dimension of posets. Schnyder’s theorem. The relationship between finite distributive lattices and finite posets. Sperner type theorems. Dismantlable posets and the fixed point property. Roddy’s theorem. Obstructions for posets. Monotone operations, Tardos’s theorem. Irreducible posets. Order varieties. Arithmetics of posets. Hashimoto’s theorem.

Bogart–Freese–Kung (editors): The Dilworth Theorems. Selected papers of Robert P. Dilworth

Schröder: Ordered sets

Trotter: Combinatorics and Partially Ordered Sets. Dimension Theory

Selected papers from the mathematical journal Order

Abstract clones and clones of operations. Galois connection. Connection of relational clones and clones of operations, the Baker–Pixley theorem. Completeness theorems for clones: Lagrange-interpolation in finite fields, the theorem of Werner and Wille, the theorem of Sheffer and Webb, Slupecki’s theorem, Salomaa’s theorem. Clone lattices over finite sets; the Janov–Mucnik theorem. Maximal clones; the Post theorem. Rosenberg’s theorem and its applications: McKenzie’s theorem, completeness of pattern functions. Sheffer functions; Rousseau’s theorem. Minimal clones. Swierczkowski’s lemma. Rosenberg’s type-theorem. Primitive positive clones; Kuznecov’s theorem.

Pöschel–Kaluzsnyin: Funktionen- und Relationenalgebren (in German)

Szendrei Ágnes: Clones in Universal Algebra

Selected papers of various authors

Primal algebras and their generalizations. The Stone-Hu duality for primal algebras. The term condition, commutators, Abelian algebras. McKenzie’s theorem on strictly simple algebras of congruence permutable varieties. Locally finite varieties. The spectrum of a variety. The relationship between relational clones and free algebras. Finitely based algebras. Theorems of Post and Lyndon, the Lyndon groupoid, the Murskii groupoid, inherently non-finitely based algebras. The Pálfy-Pudlák theorem, Pálfy’s theorem. Minimal algebras, elements of Tame Congruence Theory.

Burris–Sankappanavar: A Course in Universal Algebra

McKenzie–McNulty–Taylor: Algebras, Lattices, Varieties

Szendrei Ágnes: Clones in Universal Algebra

Hobby–McKenzie: The Structure of Finite Algebras

Selected papers of authors Baker–McNulty–Werner, Berman, McKenzie, Pálfy, Pudlák and others

Algorithmic complexity classes (P, NP, NP-complete). The problem class CSP and the dichotomy conjecture. Different presentations of the homomorphism problem (for relational structures, algebras, systems of equations and varieties). The Feder-Vardi reductions. Schaefer’s dichotomy theorem. Special cases (of a semilattice, a near-unanimity or a Maltsev operation). Weak near-unanimity operations. The proof of a conjecture of Bang-Jensen and Hell. Characterization of bounded width problems. The relationship between CSP and MMSNP.

Hell-Nesetril: Graphs and homomorphisms

Selected papers of Feder, Vardi, Bulatov, Jeavons, Dalmau, Kozik and Barto.

L.C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 1998. S. Salsa, F.M.G. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, A Primer on PDEs, Models, Methods, Simulations, Springer Verlag, 2013.

Existence and smoothness of invariant manifolds. Behaviour of solutions near fixed points and periodic orbits. Linearization. Orbital stability. Poincaré maps. Averaging. Limit sets. Asymptotically smooth maps and semi-groups. α-contracting semi-groups. Stability of invariant sets. Dissipative systems. Global attractors. Fix point theorems. Morse-Smale maps. Dimension of a global attractor. Periodic flows. Gradient systems. Examples: retarded FDE’s, neutral FDE’s, parabolic and hyperbolic PDE’s.

M. Hirsch and S. Smale, Differential Equations, Dynamic Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

J. Palis, W. DeMelo, Geometric Theory of Dynamical Systems: an Introduction, Springer-Verlag, 1982.

S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, 1990.

J. Guckenheimer and P.J. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, 1983.

J. Hale, L. Magalhaes, W. Oliva, An Introduction to Infinite Dimensional Dynamical Systems — Geometric Theory, Springer-Verlag, 1984.

J. Hale, Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, AMS, 1986.

D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer-Verlag, 1981.

M. Hirsch, C. Pugh, M. Shub, Invariant Manifolds, Springer-Verlag, 1977.

V. V. Nemytskii, V. V. Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations, Dover Publications, 1954.

H. L. Smith, Monotone Dynamical Systems, AMS, 1995.

R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer, 1997.

Differential equations on manifolds. Existence and uniqueness theorems. Differential equations in spaces of infinite dimension. Linear systems. Infinitesimal generator. Integral manifolds. Linearization, the Hartman–Grobman theorem. Perturbation theory. Non-autonomous systems. Periodic and almost periodic equations. The method of averaging. Boundary value problems. Sturm-Liouville theory. Second order equations, oscillation. Limit sets and limit cycles. Poincaré-Bendixson theorem. Stability. The second method of Lyapunov. Invariance principles. First order partial differential equations. The Hamilton–Jacobi theory.

H. Amann, Ordinary Differential Equations, DeGruyter, 1990.

V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1992.

J. K. Hale, Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, 1969.

D. V. Anosov, V. I. Arnold, Dynamical Systems I, Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1991.

C. Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications, Springer, 1999.

Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhäuser, 1982.

M. Hirsch, S. Smale, Differential Equations, Dynamic Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

M. A. Naimark, Linear Differential operators, Nauka, 1969 (in Russian).

V. V. Nemytskii, V. V. Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations, Dover Publications, 1954.

J. Palis, W. DeMelo, Geometric Theory of Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1982.

V. A. Pliss, Integral Manifolds of Periodic Systems of Differential Equations, Nauka, 1977 (in Russian).

The abstract theory of phase spaces, trajectories, solutions. Existence and uniqueness theorems. Continuous dependence on the initial data. New phenomena in comparison with the ordinary differential equations. Continuability and compactness of solutions. Linear functional differential equations. Oscillation for first and second order equations. Stability. Integro-differential equations. Neutral equations. Geometric theory of autonomous equations. The existence of periodic solutions. Applications from biology, mechanics, and other sciences.

O. Diekmann, S. A. Van Gils, S. M. Verduyn Lunel, H.-O. Walter, Delay Equations, Springer, 1995.

J. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, 1977.

T. A. Burton, Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations, Academic Press, 1985.

G. Gripenberg, S.-O. Londen, O. Staffans, Volterra Integral and Functional Equations, Cambridge University Press, 1990.

I. Győri, G. Ladas, Oscillation Theory of Delay Differential Equations, Clarendon Press, 1991.

Y. Hino, S. Murakami, T. Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, Springer-Verlag, 1991.

V. B. Kolmanovskii, V.R. Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Press, 1986.

T. Krisztin, H.-O. Walter, J. Wu, Shape, Smoothness and Invariant Stratification of an Attracting Set for Delayed Monotone Positive Feedback, AMS, 1999.

S. H. Saperstone, Semidynamical Systems in Infinite Dimensional Spaces, Springer-Verlag, 1981.

E. B. Becker, G. F. Carey and J. T. Oden, Finite Elements: An Introduction. Vol. I. , Prentice-Hall, 1981 Jeffery Cooper, Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB. Birkhauser, 1998. Peter J. Olver, Introduction to Partial Differential Equations, Springer, New York, 2014

Basic steps of mathematical modeling and their computer implementations: investigation and visualization of data sets, building and studying models, fitting. Discrete, continuous, deterministic and stochastic models Overview of mathematical and computing tools via examples: data sets, differential and difference equations, cellular automata; fitting; discretization and linearization of models; optimization. Impulsive systems and applications; time- and state dependent switches. Special features of mathematical programming languages: data structures, operations for expressions and functions; rule-based programming Oscillations: biologic, mechanical and electric oscillators; linear and nonlinear oscillations; damping; Applications of impulsive systems; state and time dependent control. Some models in life sciences: concepts of population dynamics; continuous and discrete models; appearance of delays Models for one species: unbounded and bounded growth, harvesting strategies. Interaction of several species: competition, cooperation, predator-prey models. Spatio-temporal models: patches, flows, compartmental models; reaction-diffusion: cellular automata and partial differential equation models. Models in epidemiology: SIS, SIR, SEIR,… models; vaccination strategies Models of chemical reactions, drug dosing and drug interactions

Dreyer, T. P.: Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press, 1993, ISBN 9780849386367 Leah Edelstein-Keshet: Mathematical Models in Biology, SIAM, ISBN: 978-0-89871-554-5 Meerrschaert, M.M., Mathematical Modelling, Academic Press, 1999, ISBN: 9780123869128 Murray, D.J.: Mathematical Biology, Springer, 1997. ISBN 978-3-662-08542-4

Two-dimensional autonomous systems, Poincaré-Bendixson theorem. Saddle property, invariant manifolds: stable, unstable and center manifold. Hartman-Grobman theorem. Stability theory, Lyapunov functions. Stability of periodic solutions, Poincaré maps, orbital stability. Structural stability, generic properties. Elementary bifurcations, bifurcation branches in biological and physical models. Classification of phase diagram, Poincaré normal form. Attractors and their basins. Lagrange equations, Hamiltonian vector fields. Discrete Dynamical Systems. Circle maps, quadratic maps, bifurcations of periodic points. Smale horseshoe, symbolic dynamics and chaos. The Lorenz system.

M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Elsevier, 2004. L.C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 1998. S. Salsa, F.M.G. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, A Primer on PDEs, Models, Methods, Simulations, Springer Verlag, 2013.

Homotopy and simplicial complexes. Subdivision and the simplicial approximation theorem. The fundamental group and methods of calculation. Classification of triangulable 2-manifolds. Singular homology groups and methods of calculation: simplicial homology, exact sequences. Homology groups with arbitrary coefficients, and the Lefschetz Fixed–Point Theorem. Cohomology groups and calculation theorems. The Alexander-Poincaré duality theorem. Homotopy groups and CW-complexes. The theorem of J. H. C. Whitehead and the cellular approximation theorem. Homology and Cohomology of CW-Complexes. The Hurewicz theorem. Cohomology products

S. Eilenberg, N. Steenrod, Foundations of Algebraic Topology, Princeton, 1952.

E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw–Hill, New York, 1966.

C. R. F.Maunder, Algebraic Topology, Van Nostrand Reinold, London, 1970.

W. S. Massey, Singular Homology Theory, Springer, 1980.

Theorems of Carathéodory, Radon, Helly and its applications. The inductive construction of polytopes, Gale-transforms and Gale-diagrams. Euler’s relation, the Dehn–Sommerville equations. Upper bounds for the number of k-faces. Combinatorial types of 3-polytopes, Steinitz’s theorem. Properties of boundary complexes, the van Kampen-Flores theorem. Characterization of the f-vector. Addition and decomposition of polytopes. Hamiltonian paths and circuits on polytopes. Regular polytopes.

H. Hadwiger, H. Debrunner, V. Klee: Combinatorial Geometry in the Plane, Holt, Reinhardt and Winston, New York, 1964.

L. Danzer, B. Grünbaum, V. Klee: Helly’s theorem and its relatives, Proc. Symp. Pure Math., 7 (Convexity) (1963), 101 - 180.

B. Grünbaum: Convex Polytopes, John Wiley & Sons, London, 1967.

Random closed sets, random measures and point processes, Poisson point processes, Palm distributions, convex hull of random points, random projections of polytopes, extremal problems for probability and expectation, approximation of convex bodies by random polytopes, economic cap covering and its applications, central limit theorems for random polytopes.

R. Schneider, W. Weil, Stochastic and Integral Geometry, Probability and Its Applications, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2008.

Baddeley, A.; Bárány, I.; Schneider, R.; Weil, W.: Stochastic geometry. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, September 13–18, 2004. With additional contributions by D. Hug, V. Capasso and E. Villa. Edited by W. Weil. Lecture Notes in Mathematics, 1892. Springer-Verlag, Berlin, 2007.

Santaló, Luis A.: Integral geometry and geometric probability. Second edition. With a foreword by Mark Kac. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

Combinatorial properties of convex sets, Carathéodory, Radon, Helly theorems and their generalizations and applications. Separation of convex sets, duality. Approximations of convex sets, Blaschke’s selection theorem. Operations on convex sets, mixed volumes. The isoperimetric theorem. Bodies of constant width. Valuations on convex bodies. Zonoids.

H. G. Eggleston, Convexity, Cambridge Univ. Press 47 (1958).

L. Danzer, B. Grünbaum, V. Klee, Helly’s theorem and its relatives, Proc. Symp. Pure Math., 7 (Convexity) (1963), 101–180.

B. Grünbaum, Convex Polytopes, John Wiley & Sons, London, 1967.

P. M. Gruber, J. M. Wills, Convexity and its applications, Birkhäuser, 1983.

Convex bodies and their boundaries. Duality. Minkowski sum, zonoids. Outer and inner parallel sets, curvature measures, quermassintegrals. Mixed volume, estimates. Inequalities, Brunn-Minkowski theorem, Minkowski inequality, isoperimetric theorem, Aleksandrov-Fenchel inequality. Minkowski theorem. Covariogram, difference body, Steiner symmetrization.

P.M. Gruber: Convex and discrete geometry, Springer, 2007. ISBN: 978–3-540-71132-2 R. Schneider: Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, 2013 (2nd ed.). ISBN: 978-1-139-00385-8 Szabó L.: Bevezetés a konvex geometriába, ELTE jegyzet (2018).

Designs: definition of block designs, their parameters, and divisibility constrains. Steiner triples and their various constructions. Hadamard matrices. Resolvable designs, Baranyai’s theorem. Finite projective and affine geometries: latin squares, parameters of finite geometries. Desargues and Pappos planes, coordinatization of geometries Finite reflection groups, Coxeter groups and complexes. Buildings.

M.Jr. Hall, Combinatorial theory, Waltham, Mass. 1967.

P.J. Cameron, Combinatorics: topics, techniques, algorithms, Cambridge University Press, Cambridge, 1994

S. Jukna, Extremal combinatorics, with applications in computer science, Second edition, Texts in Theoretical Computer Science, An EATCS Series, Springer, Heidelberg, 2011.

K. Brown, Buildings, Springer-Verlag, London, 1989.

Random closed sets, random measures and point processes, Poisson point processes, Palm distributions, convex hull of random points, random projections of polytopes, extremal problems for probability and expectation, approximation of convex bodies by random polytopes, economic cap covering and its applications, central limit theorems for random polytopes.

R. Schneider, W. Weil, Stochastic and Integral Geometry, Probability and Its Applications, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2008.

Baddeley, A.; Bárány, I.; Schneider, R.; Weil, W.: Stochastic geometry. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, September 13–18, 2004. With additional contributions by D. Hug, V. Capasso and E. Villa. Edited by W. Weil. Lecture Notes in Mathematics, 1892. Springer-Verlag, Berlin, 2007.

Santaló, Luis A.: Integral geometry and geometric probability. Second edition. With a foreword by Mark Kac. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

The primary aim of this course is to present the latest developments in geometry, along with the specialized background knowledge necessary to understand them. Throughout the course, we explore topics in modern geometry that are currently at the forefront of the field’s evolution or are closely related to specific research directions. Examples include high-dimensional phenomena, problems at the intersection of convex geometry and functional analysis, topics emerging at the boundary between stochastic geometry and probability theory, as well as current research questions in discrete geometry.

Degree sequences, realizable sequences, Havel-Hakimi theorem. Treees, enumeration of trees: recursions, bijective methods, Kirschoff-formula. Coloring graphs, Hajos proof method for non-colorability. Craphs with high girth and large chromatic number. Edge coloring, Vizing theorem. Matchings in graphs, algorithms and mini-max theorems. Tutte’s theorem, Berge’s formula. Higher order connectivity. Extremal graph theory, Turan’s theorem, Erdos-Stone theorem, excluding, open problems, Ramsey theorem for graphs, extensions, applications. Density theorems. Eigenvalues of graphs and their applications.

B. Bollobas, Modern graph theory, Graduate Text sin Mathematics, Springer, Berlin, 1998, ISBN 0-387-98488-7 R. Diestel, Graph theory, 4th edition, Graduate Text sin Mathematics, Springer, Berlin, 2010, ISBN 978-3-662-53621-6

Mantel’s theorem, Turán’s theorem, Erdős-Stone-Simonovits’s theorem, Zarankiewicz’s problem, graphs with maximum number of edges such that they do not contain complete/complete bipartite graphs of a given size. Generalised Turán type of questions with other forbidden subgraphs (e.g.: trees, cycles), and on hypergraphs. Pancyclic graphs, Bondy’s theorem, Moon-Moser inequalities. Saturation problems, Kászonyi-Tuza’s theorem. Ramsey’s theorem, Ramsey type questions for graphs. Szemerédi’s regularity lemma and its variants, triangle removal lemma, counting lemma, embedding lemma and their applications, Roth’s theorem. Pseudo-random graphs, Chung-Graham-Wilson’s theorem. Further well-known tools and methods in extremal combinatorics: the probabilistic method and its applications, Lovász local lemma. Combinatorial Nullstellensatz and its applications. The proof of the Kneser conjecture using topological methods (Borsuk-Ulam theorem).

Béla Bollobás: Modern Graph Theory. Springer Graduate Texts in Mathematics. Springer; 1998. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0619-4 Stasys Jukna: Extremal Combinatorics with applications in computer science, Springer; 2011. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-17364-6 Tibor Szabó: Extremal Graph Theory with emphasis on constructions, https://page.mi.fu-berlin.de/szabo/PDF/notes.pdf Noga Alon, Joel H. Spencer: The probabilistic method, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, Wiley; 1991. https://www.amazon.com/Probabilistic-Method-Noga-Alon/dp/0470170204

Basic concepts of cryptography. Attacks. AES-128 symmetric key encryption, decryption and key scheduling. Cryptanalysis of linear S-boxes. Nonlinearity of Boolean functions and Walsh-Hadamard transform. Characterization of bent functions. Differential uniformity, APN functions. Linear recursions. Feedback step counters. Maximum period LFSRs. RSA public key encryption: algorithm, key generation, encoding, decoding, proof of decoding. Prime generation. Attacks on RSA. Key management based on the Diffie-Hellman principle. Elliptic curves over finite fields. Cryptographic methods using elliptic curves. Discrete logarithm problem. Zero-knowledge proof based on graph isomorphism problem. Fiat-Shamir zero-knowledge proof. Basic concepts of error-correcting coding. The Reed–Solomon code and its decoding. Binary Goppa codes, parameters, decoding. Quantum-resistant code-based cryptography: the McEliece scheme.

Alko R. Meijer: Algebra for Cryptologists. Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology. Springer Cham; 2016. https://doi.org/10.1007/978-3-319-30396-3 Claude Carlet: Boolean Functions for Cryptography and Coding Theory. Cambridge: Cambridge University Press; 2021. https://doi.org/10.1017/978110860680

Decision trees, evasive fuctions, lower bounds. Communication complexity, tiling of matrices and the rank lower bound. Branching programs, bounded width and Barrington’s theorem. Formulas, Khrapchenko’s and Subbotovskaya’s theorem, monotonicity and lower bounds. Circuits, monotonicity and Razborov’s theorem, bounded depth, Switching lemma, Smolensky’s theorem.

S. Jukna, Boolean fuction complexity, Advances and frontiers, Algorithms and Combinatorics, 27. Springer, Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-24507-7. I. Wegener, The complexity of Boolean fuctions, Wiley-Teubner Series in Computer Science, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester; B.G. Teubner, Stuttgart, 1987. ISBN 0-471-91555-6.

Formal power series. Major index of permutations. Enumerating subspaces of finite geometries, q-analogues of classical combinatorial objects. Partitions of integers, Jacobi formulas, Ramanujan–Rodgers identities. Möbius function of partially ordered sets and methods for its computation. Asymptotical formulas. Linear extension of partially ordered sets, dimension of partially ordered sets. Enumerating linear extensions of a partially ordered sets, complexity of enumeration problems. Log-concave sequences. Jeu-de-taquin, tableaux, symmetric functions.

Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics Vol. 1., Corrected reprint of the 1986 original, Cambridge Studies in Advanced Mathematics vol. 49., Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics. Vol. 2., Cambridge Studies in Advanced Mathematics vol. 62., Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

W.T. Trotter, Combinatorics and partially ordered sets, Dimension theory, Johns Hopkins Series in the Mathematical Sciences, Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 1992.

Probabilistic method. Basic applications: bounding Ramsey numbers, 2-coloring of hypergraphs, discrepancy. The first moment method, the second moment method and the exponential moment method. Bounds from probability theory: Chernoff’s bound. Lovász’ local lemma, its oombinatorial and algorithmic proof. Applications. Martingales, and their applications in combinatorics. The semirandom method, and its applications. Different models of random graphs. Erdős–Rényi model. Threshold function for different monotone properties. Evolution of random graphs. Randomized algorithms, randomized complexity classes: BPP, RP, PP. Examples: primality testing, checking polynomial identities, testing the existence of perfect matching on a parallel machine, s-t connectivity, computing the volume.

N. Alon, J. Spencer, The probabilistic method, Third edition, With an appendix on the life and work of Paul Erdős. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2008.

Béla Bollobás, Modern graph theory, Graduate Texts in Mathematics vol. 184., Springer-Verlag, New York, 1998.

R. Motwani, P. Raghavan, Randomized algorithms, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

Construction of finite fields, their additive and multiplicative groups. Affine and projective planes over a finite field. Finite planes, block designs, incidence structures, incidence matrix. Order of finite planes, their combinatorial properties. Automorphisms, isomorphisms, collineations. Projective linear transformations. Classification of conics on the finite projective plane. Arcs, theorems of Bose and Segre. Operation scheme of error correction codes. Linear codes, Hamming distance, length, dimension, minimum distance. Sphere packing and Singleton bounds. Perfect codes, MDS codes. Hamming code, Reed-Solomon code. Decoding procedures. Relationship between MDS codes and arcs, Segre conjecture. Elliptic curve cryptography. APN functions and their applications in cryptography.

Kiss Gy., Szőnyi T.: Finite Geometries. Chapman and Hall/CRC, 2023.

J. H. van Lint: Introduction to coding theory. Springer 1998.

J.W.P. Hirshfeld: Projetive Geometries Over Finite Fields. Oxford University Press, 1997.

C. Carlet: Boolean Functions for Cryptography and Coding Theory. Cambridge University Press, 2021.

Modern graph theory has some deep and fruitful connections with other parts of mathematics such as number theory, algebra, geometry, probability theory, computer science and also analysis. Even some problems from other natural science fields like biology and chemistry can be attacked using graph theoretical methods. The aim of this course is to show the fundamental theorems and methods to the students, introduce the newest research topics and some important applications. For example, the regularity properties of graphs and hypergraphs and their various applications for infinite graphs, expanders and for solving extremal problems. Another example is the use of submodular functions in several combinatorial optimization problems and their importance for matroids.

Measure space, measurable functions. Definition of the integral, convergence theorems. Extension of a measure from a semialgebra to the generated σ-algebra. Constructions of measures on Rn, the Lebesgue measure. Connections between the Riemann integral and the Lebesgue integral. Product of measure spaces, Fubini’s theorem. Regularity of Borel measures. Theorems of Luzin and Jegorov. Hölder and Minkowski inequalities. The function spaces Lp(μ), the notions of Banach spaces and Hilbert spaces. Orthogonal complement of a subspace, the dual of a Hilbert space. Complex measures, total variation. Lebesgue decomposition of measures, Radon–Nikodym theorem. Polar decomposition, Hahn decomposition. Constructions of complex Borel measures on the real line, functions of bounded variation.

Kérchy László: Valós- és funkcionálanalízis, Polygon, Szeged, 2008.

W. Rudin: Real and complex analysis

Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok

Mittag-Leffler’s theorem on the decomposition of meromorphic functions into the sum of partial fractions, the decomposition of cotg πz. Weierstrass’ theorem on the factorization of entire functions, the factorization of sin πz. The gamma function. Approximation by rational functions, Runge’s theorem. The Hardy spaces Hp of analytic functions on the open unit disk. Limit on the circle, Fatou’s theorem. The F. and M. Riesz theorem, Szegő’s theorem. Blashke products, inner and outer functions, the canonical factorization. The Banach algebra of functions analytic on the open unit disk and continuous on the closed unit disk. The shift-invariant subspaces of the Hilbert space H2

Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok

K. Hoffmann: Banach spaces of analytic functions

W. Rudin: Real and complex analysis

Orthonormal systems in Hilbert spaces, the dimension of a Hilbert space. Convergence of Fourier series, summation in the senses of Cesaro and Abel. The Hahn-Banach theorem and its applications, Banach limit, Banach integral and measure. Banach-Steinhaus theorems, the open mapping theorem and the closed graph theorem; their applications to Fourier series. The duals of Lp spaces, reflexivity. The dual of the space of continuous functions, Riesz representation theorem. The Weierstrass-Stone approximation theorem.

Kérchy László: Valós- és funkcionálanalízis, Polygon, Szeged, 2008.

F. Riesz–B. Szőkefalvi-Nagy: Functional analysis

W. Rudin: Real and complex analysis

Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok

Orthonormal basis in Hilbert space, the subspace lattice. Shift-, multiplication- and integral-operators. Adjoint of an operator, normal operators, orthogonal projections. The ideal of compact operators. The spectrum of an element of a Banach algebra, spectral radius, the Riesz–Dunford functional calculus. Spatial spectra, spectrum of a compact operator. Abelian Banach algebras, the Gelfand transformation, the Gelfand–Naimark theorem. Operator-topologies, monotone sequences of selfadjoint operators. Spectral measure, the spectral theorem. Functional calculus and functional model for normal operators. Neumann’s double commutant theorem, abelian von Neumann algebras. Invariant subspaces of compact operators, Lomonosov’s theorem.

Kérchy László: Hilbert terek operátorai, Polygon, Szeged, 2003

The aim of the course is to provide a more serious and deeper insight into the vast and diverse field of functional analysis, with the choice of topics tailored according to the lecturer’s and students' interests. Suggested topics include:

Approximation by positive operators, the theorems of Korovkin. The Weierstrass and the Weierstrass-Stone theorem. Moduli of continuity and smoothness, Jackson’s theorem, direct theorems. Estimates of derivatives, Bernstein’s inequality and inverse theorems. Characterization of best approximating polynomials, extremal signatures. Lp-approximation. Saturation of the Bernstein polynomials, the parabola method.

Logarithmic potentials; superharmonic functions; Riesz representation; principles; equilibrium measures and potentials; potentials with external fields; Riesz potentials; applications.

T. Ransford: Potentials Theory on the Complex Plane

E. B. Saff-V. Totik: Logarithmic Potentials with External Fields

Completeness of the trigonometric system. Bessel inequality, Parseval’s formula. The convergence of Fourier series: Riemann-Lebesgue lemma, Dini’s theorem, the localization principle, Dirichlet-Jordan theorem, Lebesgue constants. Summability of Fourier series: Fejér’s theorem and its consequences, Lebesgue’s theorem, Lebesgue points of integrable functions. The divergence of Fourier series: the examples of Fejér and Kolmogorov. Special trigonometric series, coefficients of which are monotonically tending to zero.

A. Zygmund: Trigonometric series

Absolute convergence of Fourier series: theorems of Bernstein, Zygmund, Wiener and Lévay. The existence of conjugate functions and Abel-Poisson means. The Fourier character of a conjugate series and the convergence of a Fourier series and conjugate series in L1-norm. The Riesz-Thorin interpolation theorem. The Hausdofff-Young theorem and theorems of F. Riesz. Interpolation theorem of Marcinkiewicz, and Paley’s theorem on the Fourier coefficients. Summability of multiple Fourier series

A. Zygmund: Trigonometric series

Random variables and vector variables, distribution function. Independence of random variables, Kolmogorov’s zero-one law, Borel-Cantelli lemmas. Expected value. Characteristic function. Convergence in distribution, continuity theorem, portmanteau theorem. Multidimensional normal distribution. Types of convergence. Kolmogorov’s inequality. Laws of large numbers. Central limit theorem. Conditional expectation. Martingales in discrete time, martingale convergence theorem.

K. B. Athreya, S. N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory, 2006, Springer. ISBN-13: 9780387329031 P. Billingsley: Probability and Measure, 3rd edition, 1995, John Wiley & Sons, New York. ISBN-13: 978-8126517718 R. B. Ash: Probability and Measure Theory, 2nd edition, 2000, Academic Press. ISBN-13: 9780120652020 W. Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd edition, 1968, Wiley. ISBN-13: 9780471257080 A. Klenke: Probability Theory, 3rd edition, 2020, Springer. ISBN-13: 978-3030564018 A. N. Shiryaev: Probability-1, 3rd edition, 2016, Springer. ISBN-13: 978-1493979059 A. N. Shiryaev: Probability-2, 3rd edition, 2019, Springer. ISBN-13: 978-1071618295

Kolmogorov’s consistency theorem. Martingales in discrete and continuous time, Doob-Meyer decomposition, optional stopping theorem, Doob’s maximal inequality, martingale convergence theorem. Gaussian processes, Wiener process. Ito’s stochastic integral. Stochastic differential equations, diffusion processes. General definition of Markov processes and their transition probabilities. Chapman-Kolmogorov equations. Kolmogorov’s forward and backward equations.

R. Durrett. Probability: theory and examples, volume 31 of Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, fourth edition, 2010. ISBN 0521765390 I. Karatzas and S.E. Shreve. Brownian motion and stochastic calculus, volume 113 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1991. ISBN 0387976558 L. Breiman. Probability. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1968. ISBN 0898712963 J.L. Doob. Stochastic processes. Reprint of the 1953 original. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990. ISBN 9780471523697

Stock market products. Portfolio, strategy, self-financing, and hedging. Equivalent martingale measure, arbitrage-free markets, and market completeness in discrete-time markets. Exponential Brownian motion and Girsanov’s theorem. Black-Scholes model and Black-Scholes formula. Interest rate models. Renewal processes and Poisson process, elementary renewal theorem. Risk processes and the classical risk process. Lundberg exponent and the Cramér-Lundberg theorem.

R.J. Elliott and P.E. Kopp. Mathematics of financial markets. Springer Finance. Springer-Verlag, New York, second edition, 2005. ISBN 0387212922 S. Asmussen and M. Steffensen. Risk and insurance - a graduate text, volume 96 of Probability Theory and Stochastic Modelling. Springer, Cham, 2020. ISBN 3030351750 I. Karatzas and S. E. Shreve. Brownian motion and stochastic calculus, volume 113 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1991. ISBN 0387976558 A.N. Shiryaev. Essentials of stochastic finance, volume 3 of Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1999. ISBN 9810236050

Trend analysis of time series. ARMA and ARIMA processes. Autocorrelation and partial autocorrelation functions. Durbin-Levinson algorithm. Parameter estimation, Yule-Walker and maximum likelihood methods. Time series forecasting. State-space models and the Kalman filter. Modeling financial time series with ARCH and GARCH processes. Spectral representation and forecasting of weakly stationary processes (especially ARMA processes) in the frequency domain. Spectral analysis.

Brockwell, Davis: Time Series: Theory and Methods, Springer, 2006, ISBN 1441903194. Brockwell, Davis: Introduction to Time Series and Forecasting, Springer, 2010, ISBN 0387953515. Cryer, Chan: Time Series Analysis with Applications in R, Springer, 2010, ISBN 0387759581. Tsay: An Introduction to Analysis of Financial Data with R, Wiley, 2012, ISBN 0470890819.

Theory of order statistics. Sufficiency, completeness, exponential family of distributions. Fisher information, Cramér-Rao inequality, Rao-Blackwell-Kolmogorov theorem. Neyman-Pearson lemma. Wald’s likelihood ratio test. Wishart distribution. Parameter estimation and hypothesis testing in the multivariate normal model. Linear methods. Analysis of contingency tables, classification methods. Algorithmic models.

Borovkov: Mathematical statistics. Gordon and Breach, Amsterdam, 1998, ISBN 0471979139. Rao: Linear statistical interference and its applications, New York, Wileg, 1973, ISBN 0471708232.

Discrete-time Markov chains, transition probabilities, equivalent definitions. Multi-step transition probabilities, Chapman–Kolmogorov equations. Communication classes, periodic states. Strong Markov property, recurrence times, types of states. Stationary distribution and ergodicity. Continuous-time Markov chains: definition, transition probabilities, Chapman–Kolmogorov equations. Infinitesimal generator and Kolmogorov equations. Jump chain and holding times. Birth-death processes and queueing systems.

Norris: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Karlin, Taylor: A first course in stochastic processes. Academic Press, New York, 1975.

Feller: An introduction to probability theory and its applications. Vol. I. John Wiley & Sons, New York, 1968.

Generating functions, the Galton–Watson process and the extinction criterion. Multitype branching processes, mean matrix, asymptotic behavior in the critical, the subcritical and the supercritical case. Continuous-time and age-dependent processes. Applications in biology.

Athreya, Ney: Branching processes. Springer-Verlag, New York, 1972.

Kimmel, Axelrod: Branching processes in biology. Springer-Verlag, New York, 2002.

The course covers one of the advanced topics in probability theory, stochastic processes, and statistics. The topics include, but are not limited to, the following: Convergence of Probability Measures (C and D spaces, tightness, Prohorov’s theorem); Continuous-Time Branching Processes (construction as scaling limits, multitype branching processes, connections to SDEs); Lévy Processes (Lévy–Khintchine formula, Lévy–Itô decomposition, subordinators); Heavy-Tailed Phenomena (regularly varying functions, heavy-tailed random variables and limit theorems, heavy-tailed time series, parameter estimation); Random Measures and Ambit Processes (independently scattered random measures, integration with respect to Lévy bases, ambit processes); Stochastic Calculus and Stochastic Differential Equations (Itô calculus, martingale representation, integration with respect to semimartingales, weak and strong solutions of SDEs); Markov Processes (generators and semigroups, local times, excursion theory).

Problem in mathematics, various interpretations. Models of the problem-solving process: Pólya’s heuristic model, Schoenfeld’s heuristic model, Mason’s model. The scheme of problem solving; general and specific heuristics, illustrated through concrete problems. The basic conditions for developing problem-solving skills according to Wittmann. Problem-solving strategies, heuristic principles, control methods.

György Pólya: How to Solve It

György Pólya: School of Problem Solving I-II.

György Pólya: The Art of Mathematical Thinking I-II. (Induction and Analogy; Plausible Reasoning)

Alan H. Schoenfeld: Mathematical Problem Solving

Alan H. Schoenfeld (ed.): Mathematical Thinking and Problem Solving

Erich Ch. Wittmann: Fundamental Questions of Mathematics Education

Arthur Engel: Problem-Solving Strategies

Loren C. Larson: Problem-Solving Through Problems

András Ambrus: Introduction to Mathematics Didactics

The primary goal of the course is to present the methodological and statistical foundations necessary for didactic research to students in the mathematics didactics subprogram. Basics of research methodology (types and methods of qualitative and quantitative research, research design, questionnaire creation). Methods of data collection. Basic statistical concepts, estimations (point estimations, confidence intervals), parametric and non-parametric tests. Multivariate methods (linear regression, one- and two-factor analysis of variance, principal component analysis, factor analysis, discriminant analysis, logistic regression, cluster analysis). Resampling, handling missing data (EM algorithm). Use of statistical software.

Baran et al. (eds): Introduction to Mathematical Statistics, University of Debrecen Press, 2009

Marianna Bolla, András Krámli: Theory of Statistical Inference, Typotex, Budapest, 2012

Csaba Csíkos: Research Methodology of Pedagogical Experiments, Research Methodology Mini-library, Gondolat Publishing, 2012

Iván Falus (ed): Introduction to Methods of Pedagogical Research, Műszaki Publishing, Budapest, 2014

József Kontra: Methodology of Pedagogical Research, University notes, Kaposvár University, 2011

Tamás Rudas: Public Opinion Research: Interpretation and Critique, Corvina, 2006

The rise of deductive mathematics, mathematics in the Hellenistic period. Mathematics in Islamic cultures. Renaissance European mathematics. The solution and solvability of higher-degree equations, from Mesopotamia to Galois.

Boyer: A History of Mathematics

Corry: Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures

Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times

https://www.wolframalpha.com/

Rashed: The Development of Arabic Mathematics

Van der Waerden: The Awakening of a Science

selected articles on the history of mathematics

For practicing mathematics teachers, the course covers the methodological basics of combinatorics, yet focuses on concrete mathematical problems and solution strategies, and develops teaching competencies.

Methodological elements:

The main goal of the course is to become familiar with the educational possibilities of GeoGebra (https://www.geogebra.org/), SageMath (https://www.sagemath.org/) and Mathematica (https://www.wolframalpha.com/).

Basic functions of the programs. Handling geometric objects in the Euclidean, hyperbolic, and elliptic planes. Solving construction problems interactively with GeoGebra. Drawing loci with animations. Compiling, testing, and publishing interactive problem sets on the web.

Lettered expressions, formalization. Possibilities for teaching classical elements of algebra. Teaching equations and systems of equations. Teaching the basics of linear algebra using an inductive approach. Introduction of algebraic structures through examples; analogy, generalization, and abstraction. Discovery-based teaching in number theory; concrete examples, general conjectures, proof of conjectures. Teaching Euclidean geometry using inductive and deductive methods. Possibilities for teaching non-Euclidean geometries at the secondary level. From the elementary solution of simple counting problems to the application of formal power series. Teaching graph theory concepts and theorems through concrete examples.

Preparation for the fundamental concepts of analysis (calculus) (limit, continuity, derivative, integral) in secondary school; possible approaches to introducing concepts: inductive, deductive, and constructive. Applications of elements of analysis in everyday life and other fields of mathematics. Descriptive statistics and everyday life. Displaying statistical data, teaching related concepts. Probability experiments, frequency, relative frequency. Statistical measures and their properties; expected value and variance of data sets. Formation of the concept of probability. Formation of the concept of random variable through concrete examples. Discrete random variables; their distribution, expected value, variance. Possibilities for teaching the law of large numbers.

András Ambrus: Introduction to Mathematics Didactics

Ervin Fried: Abstract Algebra – In an Elementary Way

Zoltán Dienes: Let’s Build Up Mathematics

Ferenc Gyapjas: Methodological Problems of Teaching Combinatorics and Probability

György Pólya: How to Solve It

György Pólya: Induction and Analogy

Hans Freudenthal: Mathematics as an Educational Task Hans Freudenthal: Weeding and Sowing

Courant-Robbins: What is Mathematics?

Alfréd Rényi: Ars mathematica

Lajos Pintér: Analysis I-II.

Robert M. Young: Excursions in Calculus – An Interplay of the Continuous and the Discrete

Tibor Nemetz–Gergely Wintsche: Probability and Statistics for Everyone

Alan H. Schoenfeld: Mathematical Thinking and Problem Solving