A többváltozós függvénytan elemei ea. (OT középisk.)
Tanszék: Analízis Tanszék
Tematika:
Az n-dimenziós euklidészi tér, metrikus terek, normált terek fogalma. Gömbök, nyílt, zárt halmazok, konvergens pontsorozatok, Cauchy-sorozatok, teljes terek. Többváltozós függvények folytonossága és határértéke. Kompakt halmazok az n-dimenziós euklidészi térben. Kompakt halmazokon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai. Kitekintés: topológia, dimenzió, fraktálok.
Parciális és iránymenti deriváltak, gradiens, geometriai jelentések. Differenciálható többváltozós függvények. Jacobi-mátrix. Magasabbrendű deriváltak, Young tétele. Kétszer differenciálható függvények, első és második differenciál (szemléletes jelentése). Helyi szélsőérték szükséges, illetve elégséges feltételei, szélsőérték-feladatok.
A Jordan-mérték felépítése, mérhető halmazok jellemzése. A többváltozós integrálszámítás elemei: n-dimenziós téglák, téglán értelmezett korlátos függvény integrálhatósága. A térfogati integrál általános definíciója, az egyváltozós integrálszámítás tételeinek általánosításai. Többszörös integrálok kiszámítása, integrálás normáltartományon. Térfogat-számítás. Integráltranszformációk intuitív tárgyalása.
Görbék fogalma, rektifikálhatóság, ívhossz. A vonalintegrál definíciója és kiszámítása. A munka és az erőtér fogalma a mechanikában, konzervatív erőtér, potenciál, a primitív függvény fogalma; a vonalintegrálokra vonatkozó Newton-Leibniz-formula. A primitív függvény létezésének szükséges és elégséges, illetve elégséges feltételei.
Előfeltétel: