Analízis fizikusoknak ea. (fizikus)
Tanszék: Analízis Tanszék
Tematika:
Topológikus terek elméletének alapjai: nyílt halmazok, zárt halmazok, kompakt
halmazok, összefüggőség, folytonos leképezések, gyenge topológiák, topológikus
terek szorzata.
Metrikus terek elméletének alapjai: metrika, metrika által generált topológia,
sorozatok, teljesség, teljes burok, kontrakciós fixpont tétel.
Normált vektorterek elméletének alapjai: norma, normák ekvivalenciája, az
egységgömb kompaktságának és a dimenziónak a kapcsolata.
Alkalmazás: a sup normával ellátott C(K) tér és tulajdonságai, illetve a
közönséges differenciálegyenletek megoldásaira vonatkozó lokális egzisztencia
és unicitás tétel a kontrakciós fixpont tétel használatával.
Korlátos lineáris operátorok elméletének alapjai: a korlátosság és a
folytonosság kapcsolata, az operátor-norma, invertálhatóság és a Neumann-sor.
Alkalmazás: a véges dimenziós belső szorzattereken ható önadjungált operátorok
spektráltételének bizonyítása az egységgömb kompaktságát használva.
A differenciálszámítás elméletének alapjai: a normált vektorterek között ható
leképezések differenciálhatósága, differenciálási szabályok, Lagrange-féle
középértéktétel, implicit függvény tétel, inverz függvény tétel, korlátos
multilineáris leképezések, magasabb rendű deriváltak, Schwarz tétel, Taylor
formula.
Alkalmazás: lokális szélsőértékek vizsgálata a kritikus pontok és a másodrendű
derivált segítségével.
Előfeltétel: