Fourier-analízis ea. (BSc)

Tanszék: Analízis Tanszék

Tematika:
Trigonometrikus interpoláció. Fourier-sor. A sum (sin n)/n sor, Gibbs jelenség. Egyenletesen konvergens trigonometrikus sorok. Példa folytonos függvényre divergens Fourier-sorral. A Fourier-sorfejtés alaptulajdonságai. Riemann-(Lebesgue)-lemma. Fejér-féle összegzési eljárás. Lokális konvergencia és szummálhatóság, Dirichlet- és Fejér-mag. Approximáló azonosságok, approximációk Dirichlet, Fejér, Cesaro, de la Vallée-Poussin magokkal. Kitekintés a normában vett konvergenciára, (C, L terek) Kitekintés az L^2 térben vett Fourier-sorra (intuitív felépítésben), Bessel-egyenlőtlenség, Parseval-formula. Unicitási tétel. Lokalizációs tétel, a pontbeli konvergencia elegendő feltételei (Dini-féle, félérintős, Dirichlet-Jordan feltételek). Lipschitz feltétel, korlátos változás. Fourier-sor integrálhatósága. Fourier együtthatók nagyságrendje és jellemzése. Véges Fourier-transzformált. Alkalmazások: izoperimetrikus feladat, hővezetés … Exponenciális, sinus és cosinus Fourier-transzformált. A transzformáció alapvető tulajdonságai, deriváltak és integrálok transzformációi, transzformáltak meghatározása. Dini- Dirichlet-Jordan, Fejér inverziós formulák. Konvolúció. Approximációs azonosságok, kitekintés az L^2 elméletre. Alkalmazások: mintavételezés, spektrálanalízis, szűrők, differenciálegyenletek, delta-függvény. Laplace-transzformáció. A transzformáció alapvető tulajdonságai, a transzformált viselkedése. Derivált, integrál, konvolúció, impulzus transzformáltja. Alkalmazások: differenciál-, differencia- és integrálgyenletek, átviteli függvény.

Előfeltétel: