Lineáris terek és operátorok ea. (fizikus)

Tanszék: Analízis Tanszék

Tematika:
Az elsajátítandó ismeretanyag: Belső szorzatterek és normált terek alapjai. Ortonormált rendszerek és ortonormált bázisok. Alterek ortogonális komplementere, vektorok altértől vett távolsága. Kitekintés az ortogonális polinomok és a Fourier sorok elméletére. Vektorok és operátorok reprezentációja mátrixokkal. Lineáris operátorok adjungáltja. Önadjungált operátorok és ortogonális projekciók elemi tulajdonságai, sajátértékek és sajátalterek. Spektráltétel véges dimenziós belső szorzattéren ható önadjungált lineáris operátorokra. Courant-Fischer tétel. Pozitív definit és szemi-definit operátorok, Sylvester-tétel. Pozitív szemi-definit operátorok négyzetgyöke. Izometriák és jellemzésük. Lineáris operátorok poláris felbontása. Szinguláris értékek és a szinguláris érték dekompozíció. Spektráltétel önadjungált lineáris operátorok kommutáló családjára. Normális operátorok és elemi tulajdonságaik. Spektráltétel véges dimenziós komplex belső szorzattéren ható normális operátorokra. Függvénykalkulus normális operátorokra. A kialakítandó kompetenciák: Ismerjék meg a belső szorzatterek geometriájának alapjait és néhány alkalmazását, továbbá az alkalmazások szempontjából legfontosabb lineáris operátorok (önadjungált operátorok, ortogonális projekciók, pozitív szemi-definit operátorok, izometriák, normális operátorok) tulajdonságait és szerkezetét.

Előfeltétel: