| Geometria Tanszék |
| Bolyai Intézet, TTI Kar, Szegedi Tudományegyetem |
| Geometria Tanszék |
| Bolyai Intézet, TTI Kar, Szegedi Tudományegyetem |
Kockák, fragmensek, politópok és a formák komplexitása
A Geometriai Tanszék örömmel teszi közzé, hogy
Domokos Gábor
a Kerékjártó Szeminárium keretében előadást tart
címmel.
Az előadás helye és időpontja:
Az előadás kivonata:
Természetes fragmensek formája jól közelíthető konvex poliéderekkel és csupán abból a feltételezésből kiindulva,
hogy a fragmensek alakját egy nagy kőzettömb sok síkkal történő egyidejű elmetszése határozza meg,
a közelítő poliéderek több érdekes kombinatorikai tulajdonsága bizonyítható.
Ezen állítások számítógépes szimulációval is jól ellenőrizhetőek, de kísérleti alátámasztásuk,
a közelítő poliéder pontos meghatározásának nehézsége miatt, problémás.
Ha azonban a poliéderekre nem csak mint geometriai formákra, hanem mind tömör testekre tekintünk,
akkor segítségül hívhatjuk mechanikai egyensúlyaik számát és típusát is mint alakjellemzőket
és ezen mennyiségek kísérletileg könnyen mérhetőek. Nehézséget jelent azonban,
hogy ezekből hogyan következtessünk az eredetileg meghatározni kívánt kombinatorikai tulajdonságokra (a lapok, csúcsok, élek $f$, $e$, $v$ számára).
A fenti probléma által motiválva általánosan keressük egy konvex $P$ poliéder lapjai, élei, és csúcsai
(vagyis kombinatorikai jellemzői) valamint stabil, instabil és nyereg-típusú egyensúlyai
(vagyis mechanikai jellemzői) közötti kapcsolatot és bevezetjük a $C(P)$ mechanikai komplexitást
mint a kombinatorikai és mechanikai jellemzők különbségét. Az $S$ stabil és $U$ instabil rendelkező
poliéderek $(S,U)$ osztályának $C(S,U)$ mechanikai komplexitása az osztályban található poliéderek
komplexitásának infimuma. Bebizonyítjuk, hogy ha $S,U >1$, akkor $C(S,U)$ a $2(f+v-S-U)$ mennyiség minimuma,
ha az $(f,v)$ számpár végigfut az összes polihedrális számpáron. Polihedrálisnak nevezünk egy $(f,v)$ számpárt,
ha létezik $f$ lapú, $v$ csúcsú konvex poliéder. Az úgynevezett monostatikus osztályok esetén
($S=1$ vagy $U=1$) alsó és felső korlátot adunk $C(S,U)$-ra és kitűzünk egy komplexitás-függő
díjat az $(1,1)$ osztály mechanikai komplexitására.
Véletlen poliéderek mechanikai komplexitására jelenleg nincs ismert eredmény,
ugyanakkor ennek elméleti meghatározása kulcs szerepet kaphatna a természetes fragmensek leírásában.
Azt is bemutatjuk, hogy a mechanikai komplexitás fogalma kiterjeszthető sima konvex testekre is
és ezen keresztül a természetes kopási folyamatok leírásában is lehet jelentősége.
Íme néhány pillanatkép az eseményről:
