Érvényes: 2004. októbertõl

Algebra szigorlati tételsor

matematikus és alkalmazott matematikus szakos hallgatóknak

1. Halmazok, leképezések, relációk. Természetes számok, teljes indukció. A kombinatorika alapvetõ összeszámlálási feladatai. Binomiális és polinomiális tétel. Véges halmazok permutációi.

2. A komplex számok teste. Kanonikus alak, trigonometrikus alak, egységgyökök. A harmad- és negyedfokú polinomok gyökeinek kiszámítása.

3. Polinomgyûrûk. Polinomok gyökei, Bézout tétele. A klasszikus algebra alaptétele. Irreducibilis polinomok a valós, a komplex és a racionális számtest fölött. Polinomok közös és többszörös gyökei.

4. Test fölötti többhatározatlanú polinomok gyûrûje, lexikografikus rendezés. A szimmetrikus polinomok alaptétele. Algebrai számok.

5. Vektorterek, vektorrendszer rangja, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések és mátrixaik. A lineáris leképzések vektortere, a lineáris transzformációk gyûrûje, mátrixgyûrû. Mátrix rangja, rangszámtétel.

6. Négyzetes mátrix determinánsa, kifejtési tétel, Vandermonde-determináns. A determinánsok szorzástétele. Elfajuló és nemelfajuló mátrixok, mátrix inverze.

7. Lineáris egyenletrendszerek elmélete: Kronecker-Capelli-tétel, Gauss-elimináció. A homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak altere, az inhomogén lineáris egyenletrendszer általános megoldása. A szabályos lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó Cramer-szabály.

8. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér, karakterisztikus polinom. Invariáns altér. Jordan-normálalak.

9. Euklideszi terek, ortogonalitás. Önadjungált és ortogonális lineáris transzformációk. Fõtengelytétel. Unitér terek, normális lineáris transzformációk.

10. Bilineáris és kvadratikus alakok. Kanonikus alak, tehetetlenségi tétel. Fõtengelytétel kvadratikus alakokra.

11. A számelmélet alaptétele. A mod m kongruencia, lineáris kongruenciák és lineáris diofantoszi egyenletek. Euler-tétel, Fermat-tétel és Wilson-tétel. Lineáris kongruenciarendszerek, a kínai maradéktétel.

12. Számelméleti függvények, konvolúció. Multiplikatív és additív számelméleti függvények. Nevezetes példák: az osztók száma, az osztók összege, a Möbius-függvény és az Euler-féle fi függvény. Összegzési és megfordítási függvény. Tökéletes számok.

13. Primitív gyökök. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum és tulajdonságai.

14. Természetes számok fölbontása két négyzetszám összegére, pitagoraszi számhármasok; Fermat-sejtés. Prímszámok eloszlása: prímszámmentes hézagok, Dirichlet-tétel, a prímszámok reciprokaiból képezett sor divergenciája; prímszámtétel.

15. Csoport definíciói, nevezetes példák. Hatványozás csoportban, elemrend és tulajdonságai. Részcsoport, generátorrendszer; ciklikus csoportok.

16. Lagrange tétele; normálosztó, faktorcsoport, csoportelméleti homomorfiatétel és izomorfiatételek.

17. Normálosztók direkt szorzata, direkt fölbontás; a végesen generált Abel-csoportok alaptétele.

18. Permutációcsoportok: Cayley tétele, az n-edfokú (n>4) alternáló csoportok egyszerûsége. Véges csoportok: p-csoportok, Sylow-tételek.

19. Szabad félcsoportok, szabad csoportok, definiáló relációk. Centrum, kommutátor. Nilpotens, feloldható, ill. egyszerû csoportok. Lineáris csoportok.

20. Gyûrûk: nevezetes példák; részgyûrû, ideál, kompatibilis osztályozás, faktorgyûrû; gyûrûelméleti homomorfiatétel és izomorfiatételek. Maradékosztály-gyûrûk direkt fölbontása. Egyszerû gyûrûk, a test fölötti teljes mátrixgyûrûk.

21. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, irreducibilis és prímelem integritástartományban; egyértelmû irreducibilis faktorizáció. Euklideszi gyûrû, fõidálgyûrû.

22. Integritástartomány hányadosteste. Test fölötti racionális törtfüggvények teste, elemi törtekre bontás. Fõideálgyûrû faktortestei. Test karakterisztikája, prímtest.

23. Testbõvítések: egyszerû algebrai és transzcendens testbõvítés, minimálpolinom, végesfokú és algebrai testbõvítés. Véges testek.

24. Hálók és hálószerûen rendezett halmazok; disztributív és moduláris hálók, Boole-algebrák. Általános algebrai struktúrák.

A szigorlaton a fogalmakat, a tételek állításait, a köztük fennálló összefüggéseket, valamint a tételek bizonyításának fõbb ötleteit kell ismerni.