Név:

1. dolgozat
Számítógéppel segített matematikai modellezés
 "A"  változat
2012. október 30, kedd

Oldd meg a következő feladatokat. Készíts szép notebook-ot, figyelj a korrekt strukturált megoldásokra, válaszolj a kérdésekre.

1. feladat (15 pont)

a) Készítsd el az alábbi táblázat elsô 50 sorát! 

a j-edik sorban a j-edik természetes szám áll, utána a j-edik ikerprím(pár) elsô és második tagja, tehát pl. a 2. sor:

({{2, 5, 7}})

b) Add meg  a szupertökéletes számokat 100000-ig, azaz olyan n természetes számokat generálj, melyre  ((σ(σ(n)) = 2n) ∧ (n<10^6)). Pl. (2*2=σ(σ(2))=σ(3)=4, σ-osztók összege) 

c) Add meg az f(x)=(x^2)(e^(-x)) fgv (f^((k))) magasabbrendû deriváltjait táblázatban(0≤k≤10) . Adj ez alapján képletet (f^((n)))(x)-re! (n∈ℕ). Add meg az (f^((k)))(0) sorozatot is (0≤k≤10).

2. feladat (10 pont)

Ábrázold a

h(x)=(1/(1/2-(e^(1/x))))

függvényt a [-10,10] intervallumon, add meg az értelemezési tartományt!
Add meg  +∞-ben és a -∞-ben a limeszt!
Add meg  a két véges kritikus pontban a féloldali limeszeket!  Van-e limesz?
Hogyan kell az elsô ábrát módosítani, hogy a véges pontokban a féloldali limeszek vizuálisan is szemléltethetôk legyenek?
 Add meg az inflexiós pontokat, színezz (új ábrán) a második derivált elôjele szerint!

3. feladat (15 pont)

A numerikus matematikában az L(x)=(∑_(j=1)^n)|(∏_(k=1,k≠j)^n)(x-(Subscript[x, k]))/((Subscript[x, j])-(Subscript[x, k]))| polinomot az XL = {(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]) ..., (Subscript[x, n])} alappontrendszerhez (elemek pár. kül.) tartozó Lebesgue polinomnak nevezik.

a) Add meg azt a függvényt, aminek bemenô paramétere az XL lista és elôállítja L-t.
b) Add meg LebF[{ -1, 0, 1}]-et, ábrázold [ -1, 1]-en.
c) Add meg LebF[{ -1, 0, 1}] maximumát [ -1, 1]-en, jelöld be azokat a pontokat a b) -beli grafikonon, ahol ezt a maximumot felveszi a függvény!

Készíts interaktív ábrát melyben 2 csúszka segítségével ábrázolod a LebF[{a1,0,a3}] függvénycsaládot. (a1,a3≠0 a1≠a3, a1,a3∈[ -1, 1])

Tippek: Sum, Product, Abs, Maximize, NMaximize, Manipulate

Itt egy tipikus példa:

LebF[{-1,-1/3,1/3,1}]

LebF[XL_List]:=

4. feladat (15 pont)

Egy számot “majdnem prím”-nek vagy félprímnek nevezük, ha pontosan 2 kül prímtényezôje van multiplicitással, azaz ha z=(p1^a1) (p2^a2)..(pk^ak), akkor (∑_i)(Subscript[a, i])=2. 
Add meg az elsô 50 ilyen elemet. Készíts interkatív ábrát is: a csúszka (n) menjen 1 és 50 között és adja meg a az n-edik félprímet és a prímfelbontását . 
Készíts kísérletet a relatív gyakoriságuk vizsgálatára. Legyen  n=(10^k),k=2,3,4,5,6. Ábrázold a sorozatot.

Tipp: FactorInteger , ListPlot