Név: Anonymous

1. dolgozat
Számítógéppel segített matematikai modellezés
 "A"  változat
2012. október 30, kedd

Oldd meg a következő feladatokat. Készíts szép notebook-ot, figyelj a korrekt strukturált megoldásokra, válaszolj a kérdésekre.

1. feladat (15 pont)

a) Készítsd el az alábbi táblázat elsô 50 sorát! 

a j-edik sorban a j-edik természetes szám áll, utána a j-edik ikerprím(pár) elsô és második tagja, tehát pl. a 2. sor:

({{2, 5, 7}})

T=Select[Table[Prime[n],{n,250}],PrimeQ[#+2]&]

TableForm[Table[{Style[n,Red],T[[n]],T[[n]]+2},{n,Length[T]}]]

b) Add meg  a szupertökéletes számokat 100000-ig, azaz olyan n természetes számokat generálj, melyre  ((σ(σ(n)) = 2n) ∧ (n<10^6)). Pl. (2*2=σ(σ(2))=σ(3)=4, σ-osztók összege)

Select[Table[n,{n,(10^5)}],Plus@@Divisors[Plus@@Divisors[#]]==2#&]

Select[Table[n,{n,(10^5)}],DivisorSigma[1,DivisorSigma[1,#]]==2#&]

c) Add meg az f(x)=(x^2)(e^(-x)) fgv (f^((k))) magasabbrendû deriváltjait táblázatban(0≤k≤10) . Adj ez alapján képletet (f^((n)))(x)-re! (n∈ℕ). Add meg az (f^((k)))(0) sorozatot is (0≤k≤10).

f[x_]:=(x^2)(E^(-x))

Factor[D[f[x],x]]

TableForm[Table[{k,Factor[D[f[x],{x,k}]]},{k,0,10}]]

Table[Factor[D[f[x],{x,k}]],{k,0,10}]/.x->0

Válasz: (e^(-x)) (((-1))^k)((x^2)-(2k)x+k(k+1))

2. feladat (10 pont)

Ábrázold a

h(x)=(1/(1/2-(e^(1/x))))

függvényt a [-10,10] intervallumon, add meg az értelemezési tartományt!
Add meg  +∞-ben és a -∞-ben a limeszt!
Add meg  a két véges kritikus pontban a féloldali limeszeket!  Van-e limesz?
Hogyan kell az elsô ábrát módosítani, hogy a véges pontokban a féloldali limeszek vizuálisan is szemléltethetôk legyenek?
 Add meg az inflexiós pontokat, színezz (új ábrán) a második derivált elôjele szerint!

f[x_]=1/(1/2-E^(1/x));

Solve[Denominator[f[x]]==0,x]

Plot[f[x],{x,-10,10}]

Limit[f[x],x->∞]

Limit[f[x],x->-∞]

Limit[f[x],x->-1/Log[2],Direction->-1]

Limit[f[x],x->-1/Log[2],Direction->1]

Plot[f[x],{x,-2,0}]

Limit[f[x],x->0,Direction->-1]

Limit[f[x],x->0,Direction->1]

Plot[f[x],{x,-1,1}]

ip={x,f[x]}/.NSolve[D[f[x],x,x]==0,x,Reals]

Csak egy inf. pont van x0~0.6

Reduce[D[f[x],x,x]>0,x,Reals]

N[%]

Plot[f[x],{x,-5,5},PlotRange->{-6,6},ColorFunction->Function[{x},If[(D[f[z],z,z]/.z->x)>0,Red,Blue]],ColorFunctionScaling->False,Epilog->{PointSize[.02],Green,Point[ip]}]

3. feladat (15 pont)

A numerikus matematikában az L(x)=(∑_(j=1)^n)|(∏_(k=1,k≠j)^n)(x-(Subscript[x, k]))/((Subscript[x, j])-(Subscript[x, k]))| polinomot az XL = {(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]) ..., (Subscript[x, n])} alappontrendszerhez (elemek pár. kül.) tartozó Lebesgue polinomnak nevezik.

a) Add meg azt a függvényt, aminek bemenô paramétere az XL lista és elôállítja L-t.
b) Add meg LebF[{ -1, 0, 1}]-et, ábrázold [ -1, 1]-en.
c) Add meg LebF[{ -1, 0, 1}] maximumát [ -1, 1]-en, jelöld be azokat a pontokat a b) -beli grafikonon, ahol ezt a maximumot felveszi a függvény!

Készíts interaktív ábrát melyben 2 csúszka segítségével ábrázolod a LebF[{a1,0,a3}] függvénycsaládot. (a1,a3≠0 a1≠a3, a1,a3∈[ -1, 1])

Tippek: Sum, Product, Abs, Maximize, NMaximize, Manipulate

Itt egy tipikus példa:

LebF[{-1,-1/3,1/3,1}]

LebF[XL_List]:=Sum[Abs[Product[(x-XL[[k]])/(XL[[j]]-XL[[k]]),{k,1,j-1}] Product[(x-XL[[k]])/(XL[[j]]-XL[[k]]),{k,j+1,Length[XL]}]],{j,1,Length[XL]}]

LebF[{-1,-1/3,1/3,1}]

LebF[{-1,0,1}]

Plot[LebF[{-1,0,1}],{x,-1,1}]

Maximize[{LebF[{-1,0,1}],-1≤x≤1},x]

mlist={{-1/2,5/4},{1/2,5/4}};

Plot[LebF[{-1,0,1}],{x,-1,1},Epilog->{Green,PointSize[.02],Point[mlist]}]

Manipulate[Plot[LebF[{a1,0,a3}],{x,-1,1},PlotRange->{{-1.1,1.1},{-.1,3}}],{a1,-1,1,.1},{a3,-1,1,.1}]

Manipulate[Plot[If[a1==0∨a3==0∨a1==a3,-1,LebF[{a1,0,a3}]],{x,-1,1},PlotRange->{{-1.1,1.1},{-.1,6}}],{a1,-1,1,.1},{a3,-1,1,.1}]

4. feladat (15 pont)

Egy számot “majdnem prím”-nek vagy félprímnek nevezük, ha pontosan 2 kül prímtényezôje van multiplicitással, azaz ha z=(p1^a1) (p2^a2)..(pk^ak), akkor (∑_i)(Subscript[a, i])=2. 
Add meg az elsô 50 ilyen elemet. Készíts interkatív ábrát is: a csúszka (n) menjen 1 és 50 között és adja meg a az n-edik félprímet és a prímfelbontását . 
Készíts kísérletet a relatív gyakoriságuk vizsgálatára. Legyen  n=(10^k),k=2,3,4,5,6. Ábrázold a sorozatot.

Tipp: FactorInteger , ListPlot

SPL=Select[Table[n,{n,150}],Plus@@FactorInteger[#][[All,2]]==2&]

Length[%]

Manipulate[TableForm[{{Style[n,Blue],SPL[[n]],FactorInteger[SPL[[n]]]}}],{n,1,50,1}]

Manipulate[TableForm[{{Style[n,Blue],SPL[[n]],If[(l=FactorInteger[SPL[[n]]]);Length[l]==1,StringJoin[ToString[l[[1,1]]],"^2"],StringJoin[ToString[l[[1,1]]],"*",ToString[l[[2,1]]]]]}}],{n,1,50,1}]

T2=N[Table[Length[Select[Table[j,{j,(10^k)}],Plus@@FactorInteger[#][[All,2]]==2&]]/(10^k),{k,2,6}]]

ListPlot[Transpose[{Table[k,{k,2,6}],T2}],PlotRange->{{0,7},{0,1/2}}]