7—Számítógépek alkalmazása a matematika tanításában

Gyakorló feladatok

Chebyshev polinomok szelsôértékhelyei

Feladat: Adjuk meg a grafikon azon pontjait ahol lokális min./max. van. Színezzük is a pontokat.

T=Table[ChebyshevT[n,x],{n,1,8}];

DZeroList=Table[x/.NSolve[D[T[[n]],x]==0,x],{n,2,8}]

DZeroList2=DZeroList/.{x_?NumberQ->{x,0}};

Manipulate[Plot[T[[n]],{x,-1,1},PlotRange->{-1.1,1.1},Epilog->{Red,PointSize[.02],Point[DZeroList2[[n-1]]]}],{n,2,8,1}]

Most a függvényértékekre is szükségünk van.

T[[4]]/.NSolve[D[T[[4]],x]==0,x]

DZeroList3=Table[{x,T[[n]]}/.NSolve[D[T[[n]],x]==0,x],{n,2,8}]

Manipulate[Plot[T[[n]],{x,-1,1},PlotRange->{-1.1,1.1},Epilog->{Red,PointSize[.02],Point[DZeroList3[[n-1]]]}],{n,2,8,1}]

Manipulate[Plot[T[[n]],{x,-1,1},PlotRange->{-1.1,1.1},Epilog->{PointSize[.02],Map[{If[#[[2]]==1,Red,Blue],Point[#]}&,DZeroList3[[n-1]]]}],{n,2,8,1}]

függvénygrafikon pontkainak színezése

f[x_]=x^2 Exp[-x^2]

Plot[f[x],{x,-3,3},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(If[(D[f[x],x]/.x->#)>0,Red,Blue]&)]

Plot[f[x],{x,-3,3},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(If[(D[f[x],{x,2}]/.x->#)>0,Red,Blue]&)]

MyFirstColorFunction[x_]:=If[(D[f[y],y]/.y->x)>0,Red,Blue]

MyFirstColorFunction[-2]

Plot[f[x],{x,-3,3},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(MyFirstColorFunction[#]&)]

MySecondColorFunction[x_,y_]:=If[(D[f[z],z]/.z->x)>0,Red,Blue]

Plot[f[x],{x,-3,3},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(MySecondColorFunction[#1,#2]&)]

Egyváltozós függvénydiszkusszió

Függvédiszkusszió számítógéppel (ÉT, zéróhelyek, limeszek (lokális/globális/aszimpt viselkedés), monotonitás, szimb+num+viz)

f[x_]=(x^6-3 x^4+x^3-5 x^2-2)/(x^7-x^5+x^3-3 x^2+x-2)

ET: ℝ\{x0}, ahol x0~ 1.34

x/.NSolve[Denominator[f[x]]==0,x,Reals]

Length[%]

Head[%[[1]]]

%[[1]]//FullForm

Cases[{1,I,2+I,Sqrt[2]},Complex[__]]

DeleteCases[x/.NSolve[Denominator[f[x]]==0,x],Complex[__]]

x/.NSolve[Denominator[f[x]]==0,x,Reals]

x/.Solve[Denominator[f[x]]==0,x,Reals]

Factor[Denominator[f[x]]]

Plot[Evaluate[Denominator[f[x]]],{x,-4,4},PlotRange->{-5,5}]

Zéróhely 2 zéróhely ~ -2.2 1.98

x/.NSolve[Numerator[f[x]]==0,x]

DeleteCases[%,Complex[__]]

x/.NSolve[Numerator[f[x]]==0,x,Reals]

Plot[Evaluate[{x^6,Numerator[f[x]]}],{x,-100,100}]

Plot[Evaluate[{x^6,Numerator[f[x]]}],{x,-5,5},PlotRange->{-20,20}]

Plot[f[x],{x,-5,5},PlotRange->{-20,20}]

ccp=DeleteCases[x/.NSolve[D[f[x],x]==0],Complex[__]]

Sort[ccp]

Plot[Evaluate[D[f[x],x]],{x,-5,5},Epilog->{PointSize[.02],Map[Point[{#,0}]&,ccp]}]

Limeszek vizsgálata

Limit[f[x],x->Infinity]

Limit[f[x],x->-Infinity]

Gyökök Rendezése: mindig a valósak kerülnek elôre, ezen belül normál rendezés

(x/.Solve[Denominator[f[x]]==0,x][[1]])

N[%]

Limit[f[x],x->(x/.Solve[Denominator[f[x]]==0,x][[1]]),Direction->1]

Limit[f[x],x->(x/.Solve[Denominator[f[x]]==0,x][[1]]),Direction->-1]

Map[Point[{#,f[#]}]&,ccp]

Plot[f[x],{x,-4,-3},Epilog->{Black,Map[Point[{#,f[#]}]&,ccp],Green,Map[Point[{#,0}]&,ccp]}]

Plot[f[x],{x,-5,5},Epilog->{Black,Map[Point[{#,f[#]}]&,ccp],Green,Map[Point[{#,0}]&,ccp]}]

Plot[f[x],{x,-3,3},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(If[#>0,Red,Blue]&)]

Plot[f[x],{x,-5,5},Epilog->{PointSize[.02],Black,Map[Point[{#,f[#]}]&,ccp],Cyan,Map[Point[{#,0}]&,ccp]},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(If[(D[f[x],x]/.x->#)>0,Red,Blue]&)]

Plot[f[x],{x,-5,5},Epilog->{PointSize[.02],Black,Map[Point[{#,f[#]}]&,ccp],Green,Map[Point[{#,0}]&,ccp]},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(If[(D[f[x],x]/.x->#1)>0,Red,Blue]&)]

Plot[f[x],{x,-5,5},Epilog->{PointSize[.02],Black,Map[Point[{#,f[#]}]&,ccp],Green,Map[Point[{#,0}]&,ccp]},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(If[(Evaluate[D[f[x],x]]/.x->#1)>0,Red,Blue]&)]

Egzakt (mechanikus) elôjelvizsgálat rac. törtfgv. esetén

CylindricalDecomposition[D[f[x],x]>0,x]//N

Reduce[D[f[x],x]>0,x]//N

CylindricalDecomposition[D[f[x],x]<0,x]//N

Függvénydiszkusszió

f (x)=(x^3)-x
g(x)=(x^2)(e^(-(x^2)))

f[x_]:=(x^3)-x;

zhl=x/.Solve[f[x]==0,x]

Plot[f[x],{x,-3, 3},Epilog->{Yellow,Map[Point[{#,0}]&,zhl]},PlotRange->{-5,5}]

D[f[x],{x,2}]

?Function

MyFunction[x_,y_]:=If[x>0,Red,Blue]

MyFunctionb[x_,y_]:=If[(D[f[z],{z,2}]/.z->x)>0,Red,Blue]

MyFunctionb[1,0]

MyFunctionb[-1,0]

Plot[f[x],{x,-3, 3},Epilog->{Green,Point[{0,0}]},PlotRange->{-5,5},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(MyFunction[#1,#2]&)]

g[x_]=x^2Exp[-x^2]

g2[x_]=x^2 E^(-x^2);

Solve[g[x]==0,x]

?g2

Plot[g2[x],{x,-3,3}]

h[x_]=x^3-5x^2+7x+8;

D[h[x],x]

h'[x]

D[h[x],{x,2}]

h''[x]

D[h[x],x,x]

DZeroList1={x,0}/.Solve[D[g2[x],x]==0,x]

DZeroList2={x,g2[x]}/.Solve[D[g2[x],x]==0,x]

Plot[Evaluate[D[g2[x],x]],{x,-3,3},Prolog->{Yellow,PointSize[.02],Point[DZeroList1]}]

Plot[Evaluate[{g2[x],D[g2[x],x]}],{x,-3,3},Epilog->{Black,PointSize[.02],Point[DZeroList1],Red,Point[DZeroList2],Black,Text["f",{2,.2}],Text["f'",{1,-.2}]},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(If[(Evaluate[D[g2[x],x]]/.x->#1)>0,Red,Blue]&)]

G1=Plot[g2[x],{x,-3,3},Epilog->{Black,PointSize[.02],Point[DZeroList1],Red,Point[DZeroList2],Black,Text["f",{2,.2}],Text["f'",{1,-.2}]},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(If[(Evaluate[D[g2[x],x]]/.x->#1)>0,Red,Blue]&)]

G2=Plot[Evaluate[D[g2[x],x]],{x,-3,3},Epilog->{Black,PointSize[.02],Point[DZeroList1],Black,Text["f",{2,.2}],Text["f'",{1,-.2}]},ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->(If[(Evaluate[D[g2[x],{x,2}]]/.x->#1)>0,Red,Blue]&)]

Show[G2,G1]

N[E]

N[I]

N[Pi]

Plot[{x,x^2},{x,-4,4},PlotRange->{{-2,2},{-3,3}}]