Num. Math.—2

Lineáris Algebra

1+3

Lineáris egyenletrendszermegoldás [csak mintamegold!]

A=(({{1, 1}, {1, -1}}));b={.5,.1};

LinearSolve[A,b]

Det[A]

Minors[A,1]

Minors[A,2]

MatrixForm[Inverse[A]]

{1,2,3}.{2,3,4}

MatrixRank[A]

NullSpace[{{1,1},{1,1}}]

MatrixForm[ConjugateTranspose[{{1,2+I},{1-3I,2}}]]

Értéladás, mátrixbeviteli módok

W={{1,2},{3,4}}

MatrixForm[W]

W2=(({{\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}}))

Speciális mátrixok

IdentityMatrix[4]

MatrixForm[DiagonalMatrix[{d1,d2,d3}]]

MatrixForm[Table[If[j==k,1,If[j>k,l[j,k],0]],{j,4},{k,4}]]

Balfelsô fôminorok

A=(({{1, 1, 1, 1}, {1, 2, 3, 4}, {1, 4, 9, 16}, {1, 8, 27, 64}}));

W=2

FullForm[A]

Head[1]

Table[MatrixForm[Take[A,j,j]],{j,Length[A]}]

Table[Det[Take[A,j,j]],{j,Length[A]}]

Table[(j^2),{j,1,5,2}]

Elimináló és permutáló mátrixok

A={{1,-4,0},{-4,-2,5},{0,5,3}};

MatrixForm[A]

Kérdések: I23I13A, AI12I23, I23AI23
N1I14A2

II[m_,n_,s_]:=Table[If[j==m,UnitVector[s,n],If[j==n,UnitVector[s,m],UnitVector[s,j]]],{j,s}]

MatrixForm[II[1,2,4]]

MatrixForm[II[2,3,3].II[1,3,3].A]

MatrixForm[II[2,3,3].A.II[2,3,3]]

MatrixForm[A.II[1,2,3],II[2,3,3]]

A2={{0,1,2,-3},{3,8,0,4},{-2,9,-5,0},{4,0,6,2}};

MatrixForm[II[1,4,4].A2]

N1=(({{1, 0, 0, 0}, {-3/4, 1, 0, 0}, {1/2, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}));

MatrixForm[N1.II[1,4,4].A2]

Gauss-elimináció (alapalg.) [1]

Csak szab. lin. egyr. összes balf. fôminor nemzéró 
Gauss-elimináció alapalgoritmusa
a) fázis nullázás (A/b)~(U|b') 1a) tip. sorátalakításokkal
b) fázis visszahelyettesítés (↑)

LinearSolve[(({{3, -4, 5}, {-3, 2, 1}, {6, 8, -1}})),{-1,1,35}]

(({{3, -4, 5, -1}, {-3, 2, 1, 1}, {6, 8, -1, 35}}))~(({{3, -4, 5, -1}, {0, -2, 6, 0}, {0, 16, -11, 37}}))~(({{3, -4, 5, -1}, {0, -2, 6, 0}, {0, 0, 37, 37}}))

[(1) (Subscript[a, 11])≠0, s2←s2+s1, (2) s3←s3-2s1] ,[(3) s3←s3+8s2]
b) (Subscript[x, 3])=1⟹(Subscript[x, 2])=3⟹(Subscript[x, 1])=2

LinearSolve[(({{3, -4, 5}, {0, -2, 6}, {0, 0, 37}})),{-1,0,37}]

LinearSolve[(({{3, -4, 5}, {-3, 2, 1}, {6, 8, -1}})),{-1,1,35}]

Gauss-elimináció (alapalg.) [2]

Feladat

(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])=7
4(Subscript[x, 1])+3(Subscript[x, 2])+4(Subscript[x, 3])=8
9(Subscript[x, 1])+3(Subscript[x, 2])+4(Subscript[x, 3])=3

Megoldás

(({{1, 1, 1, 7}, {4, 3, 4, 8}, {9, 3, 4, 3}}))~(({{1, 1, 1, 7}, {0, -1, 0, -20}, {0, -6, -5, -60}}))~(({{1, 1, 1, 7}, {0, -1, 0, -20}, {0, 0, -5, 60}}))

[(1) (Subscript[a, 11])≠0, s2←s2-4s1, (2) s3←s3-9s1,...]

Solve[{(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])==7,4(Subscript[x, 1])+3(Subscript[x, 2])+4(Subscript[x, 3])==8,9(Subscript[x, 1])+3(Subscript[x, 2])+4(Subscript[x, 3])==3},{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

Solve[{(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])==7,0(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])+0(Subscript[x, 3])==-20,0(Subscript[x, 1])+0(Subscript[x, 2])-5(Subscript[x, 3])==60},{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

Elemi átalakítások mátrixszorzással

(({{1, 0, 0}, {-4, 1, 0}, {-9, 0, 1}})).(({{1, 1, 1}, {4, 3, 4}, {9, 3, 4}}))//MatrixForm

A=(({{1, 1, 1}, {4, 3, 4}, {9, 3, 4}}));L1=(({{1, 0, 0}, {-4, 1, 0}, {-9, 0, 1}}));

L1.A//MatrixForm

L2=(({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, -6, 1}}));

L2.L1.A//MatrixForm

U=L2.L1.A;

MatrixForm[U]

L=Inverse[L1].Inverse[L2];L//MatrixForm

Megkonstruáltuk az LU felbontást is.

L.U//MatrixForm

A//MatrixForm

{MatrixForm[L],MatrixForm[U],MatrixForm[A]}

Gauss-elimináció (alapalg.) [3]

2(Subscript[x, 1])+6(Subscript[x, 2])+8(Subscript[x, 3])=5
 (Subscript[x, 1]) +5(Subscript[x, 2])+7(Subscript[x, 3])=4
7(Subscript[x, 1])+7(Subscript[x, 2])+2(Subscript[x, 3])=8

Gauss-elimináció (részl. fôelemkiv.) [1]

Részleges fôelemkiválasztás
Megjegyzés. Numerikus szempontok miatt akkor is szükség lehet rá, ha (Subscript[M, j])≠0

Mutassuk meg, hogy nem minden balfelsô fôminor nemzéró és oldjuk meg a rendszert a módosított algoritmussal

(({{1, 2, 5, 4}, {2, 4, 8, 9}, {-6, 3, -7, 9.5}})) M1≠0, M2=0, M3≠0

(({{1, 2, 5, 4}, {2, 4, 8, 9}, {-6, 3, -7, 9.5}}))~(({{1, 2, 5, 4}, {0, 0, -2, 1}, {0, 15, 23, 33.5}})) (Subscript[~,  (s2↔s3)sorcsere])(({{1, 2, 5, 4}, {0, 15, 23, 33.5}, {0, 0, -2, 1}}))

LinearSolve[(({{1, 2, 5}, {0, 15, 23}, {0, 0, -2}})),{4,33.5,1}]

LinearSolve[(({{1, 2, 5}, {2, 4, 8}, {-6, 3, -7}})),{4,9,9.5}]

Itt: M1=0

LinearSolve[(({{0, 2, -3}, {-2, 1, 2}, {2, 0, 1}})),{4,-6,0}]