Kettősintegrálok

A kettõsintegrál definíciójánál az elsõ komponens egy kétváltozós függvény megadása. Az egyszerûség kedvvéért legyen ez most . Ennek a függvénynek a grafikonja egy felület a 3D-s térben.

A kettõsintegrál definíciójánál a második komponens egy H zárt síktartomány, melyre teljesül, hogy . A legegyszerûbb esetben ez egy poligon. A kettõsintegrál fogalmához meg kell szerkesztenünk a H tartomány beosztásait. Az ábrán a tartomány (ekvidisztáns) beosztásait láthatjuk.

A kettõsintegrál szemléletes jelentése a görbe alatti terület fogalmának analogonjkaként fogható fel. Itt egy felület alatti térfogatrészt szeretnénk definiálni, amit úgy is szoktunk mondani, hogy egy hengerszerû testnek a térfogatát szeretnénk megadni, aminek alaplapja az 2. komponensként megadott H zárt siktartomány, fedõlapja viszont nem egy körlap, mint az egyenes körhenger esetén, hanem az függvény által definiált felület. Természetes gondolat beírt téglatestek térfogatainak összegeivel közelíteni (alulról) a térfogatot. Ha a beosztást finomitjuk, egyre jobb közelítést kapunk. Ezt mutatja a következõ két animáció.

Fogalmazzuk meg formálisan egy ilyen alsó közelitõ összeg definicióját:

Hasonló módon felsõ közelitõ összegeget is definiálhatunk, s ha azt tapasztaljuk, hogy amennyiben a beosztások finomsága 0 -hoz tart, ezek az alsó és felsõ közelitõ összegek ugyanoda tartanak, akkor ezt az f függvény H tartományon vett kettõsintegráljának nevezzük. Jelölés:

Megjegyzések 1.

Nem kell feltétlen minimumokkal (maximumokkal) dolgozni a közelitõösszegek esetén, lehet általános (Riemann-féle) összegekkel dolgozni, ahol a függvényértékrõl csak azt követeljük meg hogy valamely résztartománybeli pontban felvett érték legyen.

Megjegyzések 2.

Nem feltétlen kell a H tartománynak ilyen speciálisnak lennie(téglalap), de ekkor a felosztásnál nem a 'tengelyeket' osztjuk fel, hanem a H tartományt osztjuk olyan H₁,...,H_n résztartományra, melyek nem egymásra nyúló területtel rendelkezõ részek és uniójuk kiadja H-t.

A egy ilyen beosztását láthatjuk a következõ ábrán:

A kettõsintegrál kiszámítása. A kettõsintegrál értékét nem a definíció szerint, hanem a szukcesszív integrálás módszerét alkalmazva határozzuk meg. Ehhez szükségünk van a normáltartomány fogalmára. Az XY síkon kétféle normáltartományt különböztetünk meg. Egyes tartományok mind elsõ, mind második típusú normáltartományként is kezelhetõk, ekkor a konkrét feladat során azt a típust érdemes választanunk, amelyik technikailag egyszerûbb megoldást szolgáltat. Egyes tartományok persze sajnos egyik típusú normáltartományként sem foghatók fel, ekkor két dolog segíthet: darabolással normáltartományokra osztás vagy egy megfelelõ integráltranszformáció, amit a késõbbiekben tárgyalunk.

1. típusú normáltartomány. Ha a H tartomány úgy áll elõ, hogy határoló görbéi az egyenletekkel adottak (lásd az alábbi ábrát), akkor H 1. típusú normálrtartomány. Teljesen hasonlóan definiálható a 2. típusú normáltartomány is, amikor is a határoló görbék:

Tétel. Ha H a fent megadott 1. típusú normáltartomány, akkor:

Tétel. Ha H a fent megadott 2. típusú normáltartomány, akkor: