Integráltranszformáció

Az integráltranszformáció az egyváltozós függvények integrálásánál megismert helyettesítéses integrálás analogonja. Alkalmazásával integrálási problémáink technikailag egyszerûbbé válhatnak, de egyes esetekben a transzformáció alkalmazása nélkül az integrál maeghatározása nem is lenne lehetséges. De nézzünk bevezetésként egy standard példát.

1. Határozzuk meg az egységsugarú gömb térfogatát. Ehhez persze elég a ' felsõ ' félgömb térfogatát meghatároznunk, standard 3D-s koordinátarendszerünk origóját a gömb középpontjának választva a eddig tanultak alapján a megoldás így nézne ki:

de itt elõször az függvény y szerinti integrálját kellene meghatároznunk, ami nem könnyû feladat. Ezért ehelyett új változókat vezetünk be, ami most a polárkoordinátákra történõ áttérést jelenti. Ekkor az összefüggések és a képlet:

==

Jól látható, hogy mind az integrandusz, mind az integrálási tartomány jóval egyszerûbbé változott, s így technikailg is kezelhetõ problémához jutottunk. Az egységsugarú gömb térfogata tehát , hasonlóság miatt így az R sugarú gömb térfogata , ami a már korábbról is jól ismert képlet.
Analízis. Nézzük meg, hogy hogyan is változott meg az integrálási tartományunk, s annak egy részhalmaza (az ábrákon pirossal jelölve):

Az általános esetben, ha a bevezetett új változók u illetve v, akkor a régi és az új változók között az alábbi összefüggéseket feltételezve a képlet a következõ:

,

ahol




(Jacobi-determináns)

Ellenõrizzük a polárkoordinátákra való áttérés során alkalmazott képletünk helyességét, azaz, hogy a Jacobi-determináns ebben az esetben valóban r :

2. Határozzuk meg a következõ görbél által határolt síktartomány területét:

G1: y=x [egyenes]
G2: y=2x [egyenes]
G3: xy=1 [hiperbola]
G4: xy=2 [hiperbola]

de H nem normáltartománny! Vezessük be ezért a következõ új változókat:


Ekkor

Nézzük, hogyan módosul H tartományunk:

A transzformáció elõnye abban mutatkozik meg, hogy az eredeti H tartományunk egy H' téglalappá transzformálódott, ami triviálisan normáltartomány. Ezért a integrálási feladat a következõképpen alakul: